2019年入試解答・第2弾「千葉大（前期）［3］」


千葉大学（前期）[3]

正の約数がちょうど$m$個であるような，1900以上の自然数の中で最小のものを$d_m$とする。

(1)　$d_5$を求めよ。
(2)　$d_{15}$を求めよ。

感想

第2弾は千葉大の整数問題です。この大学では旧課程時代から整数問題が出ています。
千葉大の過去問を解いたことのある人は知っていると思いますが，この大学の数学は10〜13題程度出題され，その中から自分が受験する学部・学科の問題を解答する形になっています。ちなみに，試験当日は試験番号が入った解答用紙が渡されます。
その中でも本問を解答対象となっていた学部・学科は
  • 国際教養学部
  • 教育学部（受験科目に数学がある分野・コースすべて）
  • 文学部
  • 法政経学部
  • 園芸学部・食料資源経済学科
の文系の数学受験者全員でした。


さて，この問題は（個人的には）「約数とは何か」と問われている気がします。
求める数がいずれも「正の約数は奇数個持つ」ということから「平方数」であるということに気が付いたでしょうか？
それが分かれば，約数の個数の公式云々をいわなくても解答できます。
「具体的に値を入れて試しに考えてみる」と，意外と簡単に答えを導き出せると思います。
最短ルートで行くと，答えを出すのに5分＋解答書くのに5分＝計10分といったところでしょうか。

ちなみに類題が2017年の東工大・前期で出題されていたので，その問題と解答例も載せます。
（→別記事に移動しました）

解答例

一般に，ある正の整数 $N$ の素因数分解が $n$ 個の相異なる素数 $p_1,~p_2,~p_3, ~\dots,~p_n$ を用いて，
\[ N = p_1^{a_1} p_2^{a_2} p_3^{a_3} \dots ~p_n^{a_n} ~~(a_1,~a_2,~a_3,~\dots,~a_n:\mbox{正の整数}) \]
と表せるとき，$N$ の正の約数の個数は
\[ (a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)\dots(a_n+1) \]
である。

(1)

$d_5$は正の約数を5個持ち，5は素数であるからその素因数分解は素数$p$を用いて
\[ d_5 = p^4 \]
と表される。$5^4=625,~7^4=2401$より，
\[ d_5 = 7^4 = {\bf 2401} ~~\cdots\cdots {（答）} \]
である。

(2)

$d_{15}$は正の約数を15個持つ。一般に，ある整数の正の約数の個数が奇数であるとき，その整数は平方数である。$43^2=1849,~44^2=1936$より，$44$以上の整数の平方の中で，正の約数を15個持ち，最小であるものを求めればよい。
\[44^2 = (2^2 \cdot 11)^2 = 2^4 \cdot 11^2 \]
より，$44^2$の正の約数の個数は$3 \cdot 5=15$である。
よって，
\[ d_{15} = 44^2 = {\bf 1936} ~~\cdots\cdots {（答）}\]
である。


おまけ

$d_2=1901$であることを確かめよ。

（解答例）

$d_2$は正の約数の個数が2個である整数，すなわち素数である。$43^2=1849,~44^2=1936$ より，1901が43以下の素数，すなわち
    \[ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43 \]
のいずれでも割り切れないことを確かめればよい。
\[
\begin{array}{ll}
1901 = 2 \times 950 +1, ~& 1901 = 3 \times 633 +1, \\
1901 = 5 \times 380 + 1, ~& 1901 = 7 \times 271 + 4, \\
1901 = 11 \times 172 + 9, ~& 1901 = 13 \times 146 + 3, \\
1901 = 17 \times 111 + 14, ~& 1901 = 19 \times 100 + 1, \\
1901 = 23 \times 82 + 15, ~& 1901 = 29 \times 65 + 16, \\
1901 = 31 \times 61 + 10, ~& 1901 = 37 \times 51 + 14, \\
1901 = 41 \times 46 + 15, ~& 1901 = 43 \times 44 + 9
\end{array}
\]
より，1901 は 43 以下のどの素数でも割り切れない。
よって，$d_2 = 1901$であることがわかる。

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