数学入試問題置き場

2019年入試解答 第4弾「大阪大学・理系（前期）[3]」（解答編） 問題 実数 \(s,~t\) が \(s^2+t^2 \leqq 6 \) を満たしながら変わるとき，\(xy\) 平面上で点 \( (s+t,~st) \) が動く領域を \(A\) とする。このとき以下の問いに答えよ。 (1) \( (2,~\sqrt{2}) \) が領域 \(A\) の点かどうか判定せよ。 (2) \(A\) を図示せよ。 (3) \(A\) を \(x\) 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。 実はこのブログの記事は元々は通常のLaTeXで作成した後で，ブログに移植していました。今回は図もあり，移植が面倒なのでpdfを画像で貼り付けます。 感想等は，別記事にて。 とりあえず，(3)の最後の計算はかなりキツいですね…（泣）

2019年入試・数学解答例 目次（更新予定記事） 東京大学・理系（前期）第1問 解答編 補足・感想編 千葉大学（前期）[3] （類題）2017年　東京工業大学（前期）[1] 上智大学・TEAP利用（理系）[1] （参考）2009年　千葉大学（前期）[6] 大阪大学・理系（前期）[3] 解答編 補足・感想編 早稲田大学・理工学部 [ II ] （注）ご存知だとは思いますが，3学部をまとめて理工学部としています（基幹理工学部，創造理工学部，先進理工学部）。 他にも更新する可能性があります。 解答例を載せてほしい問題があれば，コメントしていただけると幸いです。

上智大学・TEAP利用（理系）[1] $\log x$は$x$の自然対数，$e$は自然対数の底を表す。 (1)正の実数$x$に対して \[ x - \frac{x^2}{2} < \log (1+x) < x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \] が成り立つことを示せ。 (2)自然数$n$に対して \[ a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \] とおく。 (i) 自然数$n$に対して \[ 1 - \frac{1}{2n} < \log a_n < 1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} \] が成り立つことを示せ。 (ii) 不等式 \[e^{0.9} < a_n \] を満たす最小の自然数$n$を求めよ。 参考資料 永島先生ポイント集・ No.3240 感想 上智のTEAP利用入試は2015年入試から始まっていますが，理工学部の第1問では証明・論証問題が頻出です。また，2014年以前の理工学部A方式の数学でも，証明問題（特に公式の証明）が出題されていました。 （おそらく各大学での度重なる出題ミスの影響で）本年度入試より，多くの大学が入試の解答（例）や出題意図を公表するようになりました。上智大学の入試は全試験の解答・出題意図が既に公開されているので，本問の部分を抜粋します。 >>>>>>>>> 数列 $\left\{ 1 + \dfrac{1}{n} \right\}$ は自然対数の底 $e = 2.71 \cdots$ に収束するが, 本問ではこの数列がどの程度の速さで $e$ に収束するかについて考えることをテーマとしている。問(2)(ii) が主となる問であり，問(1)および問(2)(i)はそれを解くための誘導である。 (1)微分・積分を用いて, 関数の値の増減や大小を考察し, そこから不等式を論理的に導く力を問う。 (2)(i) 対数関数の性質を用いれば, ここで問われている不等式は問(1)の不等式の特別な場合であることがわかる。対数関数についての理解力, および洞察力を問う。 (ii)対数関数が単調に増加する関...

2019年の入試解答掲載は一旦置いといて…（書き溜めしてた分が無くなっただけです） 今日は題名の通り，とある入試過去問に触れます。 【2014年　学習院大学・経済学部】 平面上の 2 点 $\rm P(1,~2),~Q(3,~2)$ と直線 $L:~ y = ax + 1$ に対して，$\rm P$ と $L$ の距離を $p$ とし，$\rm Q$ と $L$ の距離を $q$ とする。$a$ が実数全体を動くとき，$p^2 + q^2$ の最小値と，最小値を与える $a$ を求めよ。 参考資料 永島先生ポイント集 No. 2030 No. 2050  ←三角関数の合成が加法定理の逆を利用していることもきちんと説明がなされています。そこのアナタ，なんとなく三角関数の合成をしていると，チコちゃんに叱られますよ（笑） No. 2415  ←公式の証明も要確認（過去に，大阪大文系と上智理工で証明が問われています） 解答例① 直線 $L$ の方程式 $y=ax+1$ は $ ax-y+1=0 $ と変形できるので \begin{eqnarray*} &~& p=\frac{|a \cdot 1 - 2 + 1|}{\sqrt{a^2+1}},~~q=\frac{|a \cdot 3 - 2 + 1|}{\sqrt{a^2+1}} \\ &\therefore~& p^2=\frac{(a-1)^2}{a^2+1},~~q^2=\frac{(3a - 1)^2}{a^2+1} \end{eqnarray*} である。$f(a)=p^2+q^2$ とおくと \begin{eqnarray*} f(a)&=&\frac{(a-1)^2+(3a-1)^2}{a^2+1}\\ &=&\frac{10a^2 - 8a+2}{a^2+1}\\ &=&10 - 8 \cdot \frac{a+1}{a^2+1} \end{eqnarray*} である。 \begin{eqnarray*} f'(a) &=& - 8 \cdot \frac{(a^2+1) - (a+1) \cdot 2a}{(a^2+1)...

千葉大学（前期）[3] 正の約数がちょうど$m$個であるような，1900以上の自然数の中で最小のものを$d_m$とする。 (1)　$d_5$を求めよ。 (2)　$d_{15}$を求めよ。 感想 第2弾は千葉大の整数問題です。この大学では旧課程時代から整数問題が出ています。 千葉大の過去問を解いたことのある人は知っていると思いますが，この大学の数学は10〜13題程度出題され，その中から自分が受験する学部・学科の問題を解答する形になっています。ちなみに，試験当日は試験番号が入った解答用紙が渡されます。 その中でも本問を解答対象となっていた学部・学科は 国際教養学部 教育学部（受験科目に数学がある分野・コースすべて） 文学部 法政経学部 園芸学部・食料資源経済学科 の文系の数学受験者全員でした。 さて，この問題は（個人的には）「約数とは何か」と問われている気がします。 求める数がいずれも「正の約数は奇数個持つ」ということから「平方数」であるということに気が付いたでしょうか？ それが分かれば，約数の個数の公式云々をいわなくても解答できます。 「具体的に値を入れて試しに考えてみる」 と，意外と簡単に答えを導き出せると思います。 最短ルートで行くと，答えを出すのに5分＋解答書くのに5分＝計10分といったところでしょうか。 ちなみに類題が 2017年の東工大・前期 で出題されていたので，その問題と解答例も載せます。 （→ 別記事 に移動しました） 解答例 一般に，ある正の整数 $N$ の素因数分解が $n$ 個の相異なる素数 $p_1,~p_2,~p_3, ~\dots,~p_n$ を用いて， \[ N = p_1^{a_1} p_2^{a_2} p_3^{a_3} \dots ~p_n^{a_n} ~~(a_1,~a_2,~a_3,~\dots,~a_n:\mbox{正の整数}) \] と表せるとき，$N$ の正の約数の個数は \[ (a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)\dots(a_n+1) \] である。 (1) $d_5$は正の約数を5個持ち，5は素数であるからその素因数分解は素数$p$を用いて \[ d_5 = p^4 \] と表される。$5^4=625,~7^4=2401...

東大理系（前期）・第1問 　次の定積分を求めよ。 \[ \int_{0}^{1} \left( x^2 + \dfrac{x}{ \sqrt{1 + x^2} } \right) \left( 1 + \dfrac{x}{ (1 + x^2) \sqrt{1 + x^2} } \right) ~dx \] 感想・補足を別記事に移しました（2019/03/14）。 ＝解 答例＝ \begin{eqnarray*} f(x) &=& \left( x^2 + \dfrac{x}{ \sqrt{1 + x^2} } \right) \left( 1 + \dfrac{x}{ (1 + x^2) \sqrt{1 + x^2} } \right) \\ \end{eqnarray*} とおくと， \begin{eqnarray*} f(x)&=& x^2 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{x^3}{\left( 1 + x^2 \right)\sqrt{1+x^2}} + \frac{x^2}{\left(1 + x^2 \right)^2} \\ &=& x^2 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{x(1+x^2)-x}{\left( 1 + x^2 \right)\sqrt{1+x^2}} + \frac{x^2}{\left(1 + x^2 \right)^2} \\ &=& x^2 + \frac{2x}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{x}{\left( \sqrt{1+x^2} \right)^3} + \frac{x^2}{\left(1 + x^2 \right)^2} \end{eqnarray*} である。ここで， \begin{eqnarray*} a &=& \int_0^1 x^2~dx~, ~~ b = \int_0^1 \frac{2x}{\sqrt{1+x^2}} ~dx ~,~~ c = - \int_0^1 \frac{x}{\left( \sqrt{1+x^2} \right)^3}~~,\hspace{2mm} d = \in...