2019年入試解答・第1弾「東大理系・第1問」（解答編）
東大理系（前期）・第1問 次の定積分を求めよ。 \[ \int_{0}^{1} \left( x^2 + \dfrac{x}{ \sqrt{1 + x^2} } \right) \left( 1 + \dfrac{x}{ (1 + x^2) \sqrt{1 + x^2} } \right) ~dx \] 感想・補足を別記事に移しました（2019/03/14）。 ＝解 答例＝ \begin{eqnarray*} f(x) &=& \left( x^2 + \dfrac{x}{ \sqrt{1 + x^2} } \right) \left( 1 + \dfrac{x}{ (1 + x^2) \sqrt{1 + x^2} } \right) \\ \end{eqnarray*} とおくと， \begin{eqnarray*} f(x)&=& x^2 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{x^3}{\left( 1 + x^2 \right)\sqrt{1+x^2}} + \frac{x^2}{\left(1 + x^2 \right)^2} \\ &=& x^2 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{x(1+x^2)-x}{\left( 1 + x^2 \right)\sqrt{1+x^2}} + \frac{x^2}{\left(1 + x^2 \right)^2} \\ &=& x^2 + \frac{2x}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{x}{\left( \sqrt{1+x^2} \right)^3} + \frac{x^2}{\left(1 + x^2 \right)^2} \end{eqnarray*} である。ここで， \begin{eqnarray*} a &=& \int_0^1 x^2~dx~, ~~ b = \int_0^1 \frac{2x}{\sqrt{1+x^2}} ~dx ~,~~ c = - \int_0^1 \frac{x}{\left( \sqrt{1+x^2} \right)^3}~~,\hspace{2mm} d = \in...