数学入試問題置き場

2019年入試解答 第4弾「大阪大学・理系（前期）[3]」（解答編） 問題 実数 \(s,~t\) が \(s^2+t^2 \leqq 6 \) を満たしながら変わるとき，\(xy\) 平面上で点 \( (s+t,~st) \) が動く領域を \(A\) とする。このとき以下の問いに答えよ。 (1) \( (2,~\sqrt{2}) \) が領域 \(A\) の点かどうか判定せよ。 (2) \(A\) を図示せよ。 (3) \(A\) を \(x\) 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。 実はこのブログの記事は元々は通常のLaTeXで作成した後で，ブログに移植していました。今回は図もあり，移植が面倒なのでpdfを画像で貼り付けます。 感想等は，別記事にて。 とりあえず，(3)の最後の計算はかなりキツいですね…（泣）

2019年入試・数学解答例 目次（更新予定記事） 東京大学・理系（前期）第1問 解答編 補足・感想編 千葉大学（前期）[3] （類題）2017年　東京工業大学（前期）[1] 上智大学・TEAP利用（理系）[1] （参考）2009年　千葉大学（前期）[6] 大阪大学・理系（前期）[3] 解答編 補足・感想編 早稲田大学・理工学部 [ II ] （注）ご存知だとは思いますが，3学部をまとめて理工学部としています（基幹理工学部，創造理工学部，先進理工学部）。 他にも更新する可能性があります。 解答例を載せてほしい問題があれば，コメントしていただけると幸いです。

上智大学・TEAP利用（理系）[1] $\log x$は$x$の自然対数，$e$は自然対数の底を表す。 (1)正の実数$x$に対して \[ x - \frac{x^2}{2} < \log (1+x) < x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \] が成り立つことを示せ。 (2)自然数$n$に対して \[ a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \] とおく。 (i) 自然数$n$に対して \[ 1 - \frac{1}{2n} < \log a_n < 1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} \] が成り立つことを示せ。 (ii) 不等式 \[e^{0.9} < a_n \] を満たす最小の自然数$n$を求めよ。 参考資料 永島先生ポイント集・ No.3240 感想 上智のTEAP利用入試は2015年入試から始まっていますが，理工学部の第1問では証明・論証問題が頻出です。また，2014年以前の理工学部A方式の数学でも，証明問題（特に公式の証明）が出題されていました。 （おそらく各大学での度重なる出題ミスの影響で）本年度入試より，多くの大学が入試の解答（例）や出題意図を公表するようになりました。上智大学の入試は全試験の解答・出題意図が既に公開されているので，本問の部分を抜粋します。 >>>>>>>>> 数列 $\left\{ 1 + \dfrac{1}{n} \right\}$ は自然対数の底 $e = 2.71 \cdots$ に収束するが, 本問ではこの数列がどの程度の速さで $e$ に収束するかについて考えることをテーマとしている。問(2)(ii) が主となる問であり，問(1)および問(2)(i)はそれを解くための誘導である。 (1)微分・積分を用いて, 関数の値の増減や大小を考察し, そこから不等式を論理的に導く力を問う。 (2)(i) 対数関数の性質を用いれば, ここで問われている不等式は問(1)の不等式の特別な場合であることがわかる。対数関数についての理解力, および洞察力を問う。 (ii)対数関数が単調に増加する関...

千葉大学（前期）[3] 正の約数がちょうど$m$個であるような，1900以上の自然数の中で最小のものを$d_m$とする。 (1)　$d_5$を求めよ。 (2)　$d_{15}$を求めよ。 感想 第2弾は千葉大の整数問題です。この大学では旧課程時代から整数問題が出ています。 千葉大の過去問を解いたことのある人は知っていると思いますが，この大学の数学は10〜13題程度出題され，その中から自分が受験する学部・学科の問題を解答する形になっています。ちなみに，試験当日は試験番号が入った解答用紙が渡されます。 その中でも本問を解答対象となっていた学部・学科は 国際教養学部 教育学部（受験科目に数学がある分野・コースすべて） 文学部 法政経学部 園芸学部・食料資源経済学科 の文系の数学受験者全員でした。 さて，この問題は（個人的には）「約数とは何か」と問われている気がします。 求める数がいずれも「正の約数は奇数個持つ」ということから「平方数」であるということに気が付いたでしょうか？ それが分かれば，約数の個数の公式云々をいわなくても解答できます。 「具体的に値を入れて試しに考えてみる」 と，意外と簡単に答えを導き出せると思います。 最短ルートで行くと，答えを出すのに5分＋解答書くのに5分＝計10分といったところでしょうか。 ちなみに類題が 2017年の東工大・前期 で出題されていたので，その問題と解答例も載せます。 （→ 別記事 に移動しました） 解答例 一般に，ある正の整数 $N$ の素因数分解が $n$ 個の相異なる素数 $p_1,~p_2,~p_3, ~\dots,~p_n$ を用いて， \[ N = p_1^{a_1} p_2^{a_2} p_3^{a_3} \dots ~p_n^{a_n} ~~(a_1,~a_2,~a_3,~\dots,~a_n:\mbox{正の整数}) \] と表せるとき，$N$ の正の約数の個数は \[ (a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)\dots(a_n+1) \] である。 (1) $d_5$は正の約数を5個持ち，5は素数であるからその素因数分解は素数$p$を用いて \[ d_5 = p^4 \] と表される。$5^4=625,~7^4=2401...