数学入試問題置き場

2017年　東京工業大（前期）[1] （ 2019年　千葉大学・前期[3] の類題） 次の条件 (i), (ii) をともに満たす正の整数$N$をすべて求めよ。 (i)　$N$の正の約数は12個である。 (ii)　$N$の正の約数を小さい方から順に並べたとき，7番目の数は12である。 ただし，$N$の約数には$1$と$N$も含めるものとする。 解答 $N$ の正の約数を小さい方から順に並べたとき，$i$ 番目の約数を $d_i$ とする。条件 (ii) より，$N$ は 1, 2, 3, 4, 6, 12$(=d_7)$ を約数に持つので， \[ d_1=1,~ d_2=2,~ d_3=3,~ d_4=4 \] また，条件 (i) より \[ N= d_6 d_7 =12 d_6 \] さらに，$d_7=12$ より $6 \leqq d_6 \leqq 11$ であるから，$d_6 = 6,7, \cdots ,11$ として仮定して，それぞれについて考えていく。 (a) $d_6 = 6$ とする。$d_5=5$ であることが必要であるが，$N=12 \times 6=72$ は 5 を約数に持たないので，不適。 (b) $d_6 = 7$ とする。$12 \times 7=84$ の正の約数は小さい順に \[1,2,3,4,6,7,12,14,28,42,84 \] であるから，条件 (i), (ii) をともに満たす。 (c) $d_6 = 8$ とする。$12 \times 8=96$ の正の約数は小さい順に \[ 1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96 \] であるから，条件 (i), (ii) をともに満たす。 (d) $d_6 = 9$ とする。$12 \times 9=108$ の正の約数は小さい順に \[ 1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54,108 \] であるから，条件 (i), (ii) をともに満たす。 (e) $d_6 = 10$ とする。$12 \times 10=120$ の正の約数は小さい順に \[ 1,2,3,4,5,6,8,10,12,\dots \] より，不適。 (f) $d_6 = 11$ とする。$12 \times 11...

千葉大学（前期）[3] 正の約数がちょうど$m$個であるような，1900以上の自然数の中で最小のものを$d_m$とする。 (1)　$d_5$を求めよ。 (2)　$d_{15}$を求めよ。 感想 第2弾は千葉大の整数問題です。この大学では旧課程時代から整数問題が出ています。 千葉大の過去問を解いたことのある人は知っていると思いますが，この大学の数学は10〜13題程度出題され，その中から自分が受験する学部・学科の問題を解答する形になっています。ちなみに，試験当日は試験番号が入った解答用紙が渡されます。 その中でも本問を解答対象となっていた学部・学科は 国際教養学部 教育学部（受験科目に数学がある分野・コースすべて） 文学部 法政経学部 園芸学部・食料資源経済学科 の文系の数学受験者全員でした。 さて，この問題は（個人的には）「約数とは何か」と問われている気がします。 求める数がいずれも「正の約数は奇数個持つ」ということから「平方数」であるということに気が付いたでしょうか？ それが分かれば，約数の個数の公式云々をいわなくても解答できます。 「具体的に値を入れて試しに考えてみる」 と，意外と簡単に答えを導き出せると思います。 最短ルートで行くと，答えを出すのに5分＋解答書くのに5分＝計10分といったところでしょうか。 ちなみに類題が 2017年の東工大・前期 で出題されていたので，その問題と解答例も載せます。 （→ 別記事 に移動しました） 解答例 一般に，ある正の整数 $N$ の素因数分解が $n$ 個の相異なる素数 $p_1,~p_2,~p_3, ~\dots,~p_n$ を用いて， \[ N = p_1^{a_1} p_2^{a_2} p_3^{a_3} \dots ~p_n^{a_n} ~~(a_1,~a_2,~a_3,~\dots,~a_n:\mbox{正の整数}) \] と表せるとき，$N$ の正の約数の個数は \[ (a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)\dots(a_n+1) \] である。 (1) $d_5$は正の約数を5個持ち，5は素数であるからその素因数分解は素数$p$を用いて \[ d_5 = p^4 \] と表される。$5^4=625,~7^4=2401...