数学入試問題置き場

タイトル通りです（笑） 高校で習った定義に触れながら，本来の定義を学びましょう。 高校数学では以下のように学習したと思います。 高校数学における積分の定義 不定積分を微分の逆操作であると定義する。すなわち， \[ F'(x) = f(x) ~\mbox{のとき，}~ \int f(x) ~dx = F(x) + C ~~~(C:\mbox{積分定数}) \] と定義する。また，定積分は，$\displaystyle \int f(x) ~dx = F(x)$ として， \[ \int_a^b f(x) ~dx = F(b) - F(a) \] で定義する。 さて，ここから面積による積分の定義と微積分学の基本定理の証明を見てみましょう。 初めて見ると，紙面だけではキツいかもしれません。 数学の先生等に聞きながら，理解するといいと思います。 大事なのは 積分は面積から定義される 最初に定積分から定義する という点です。こうすることで， 「積分は微分の逆操作である（微積分学の基本定理）」 を 証明することができます 。 積分すると面積が求まるのはなぜ？と疑問に思っていた方も多いと思いますが，「そのように定義されているから」というごく当たり前の理由です。 ちなみに高校数学では，積分すると面積が求められるという「性質」として学習をするため，誤解を招きやすい分野でもあります。 まずは定積分の定義から リーマン和の極限値による定積分の定義 $f(x):$ 開区間 $[a,~b]$ で定義された有界関数 $[a,~b]$ を $n$ 個に細分化し，その分点を $a$ に近い方から順に $ x_0,~ x_1,~ x_2,~\cdots,~x_n $ とする $[x_{k-1},~x_k]$ に属する任意の $x$ 軸上の点の座標を $(\xi_k,~0)$ とする リーマン和 : $\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1}) f(\xi_k)$ リーマン和の極限値 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} S_n$ が存在するとき，その極限値を $f(x)$ の $ a \leqq x \leqq b $

数学B・数列の公式まとめ だいぶ長い間，更新をサボってしまいましたが… この間にいろいろ作ったので，公開していきます。 数列に関しては，パターン化しやすい分野なので，どのような手順で解くのかを押さえましょう。 理想としては，問題を見てパッと解く流れを考えてから解答作成に取り組みたいですね。 $\{a_n\},~\{b_n\}$ を数列（実数列）とし，$\{a_n\}$の初項を $a$ とする。  一般項の公式（☆） 等差数列：$a_n = a + d(n-1)$（$d:$ 公差） 等比数列：$a_n = ar^{n-1}$（$r:$ 公比） 階差数列：$\displaystyle  a_n = a + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$（$b_n:$ 階差数列） 数列の和の求め方  $\Sigma$計算の 前提１ ：$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ 　　 （例） $\displaystyle \sum_{i=3}^m a_i = a_3 + a_4 + \cdots + a_m$ $\displaystyle \sum_{k=1}^m a_n = m a_n$（$n$ は $k$ と関係ない文字） $\Sigma$計算の 前提２ ：$\displaystyle \sum_{k=1}^n ( \alpha a_k + \beta b_n ) = \alpha \sum_{k=1}^n a_k + \beta \sum_{k=1}^n b_k$（$\alpha,~\beta:$ 任意の定数） （参考）このような性質を数学においては「線型性」という。 $\Sigma$計算①：$\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \dfrac{1}{2}n(n+1)$ $\Sigma$計算②：$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ $\Sigma$計算③：$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{ \dfrac{1}{2}n(n+1) \right\}^2 $  等比数列の和