数列まとめ

数学B・数列の公式まとめ

だいぶ長い間，更新をサボってしまいましたが…
この間にいろいろ作ったので，公開していきます。
数列に関しては，パターン化しやすい分野なので，どのような手順で解くのかを押さえましょう。
理想としては，問題を見てパッと解く流れを考えてから解答作成に取り組みたいですね。


$\{a_n\},~\{b_n\}$ を数列（実数列）とし，$\{a_n\}$の初項を $a$ とする。

 一般項の公式（☆）

• 等差数列：$a_n = a + d(n-1)$（$d:$ 公差）
• 等比数列：$a_n = ar^{n-1}$（$r:$ 公比）
• 階差数列：$\displaystyle  a_n = a + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$（$b_n:$ 階差数列）

数列の和の求め方

•  $\Sigma$計算の前提１：$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$

　　（例）

• $\displaystyle \sum_{i=3}^m a_i = a_3 + a_4 + \cdots + a_m$
• $\displaystyle \sum_{k=1}^m a_n = m a_n$（$n$ は $k$ と関係ない文字）
• $\Sigma$計算の前提２：$\displaystyle \sum_{k=1}^n ( \alpha a_k + \beta b_n ) = \alpha \sum_{k=1}^n a_k + \beta \sum_{k=1}^n b_k$（$\alpha,~\beta:$ 任意の定数）
• （参考）このような性質を数学においては「線型性」という。
• $\Sigma$計算①：$\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \dfrac{1}{2}n(n+1)$
• $\Sigma$計算②：$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
• $\Sigma$計算③：$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{ \dfrac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$
•  等比数列の和：$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$（$r:$ 公比，ただし$r \neq 1$）

（証明）
$\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1}$ とおくと，
$$\begin{eqnarray*} S_n &=& a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1} \\ \therefore~ rS_n &=& \hspace{1.75em} ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1} + ar^{n} \end{eqnarray*}$$
であるから，
$$\begin{eqnarray*} &\therefore~& (1-r)S_n = a \left( 1- r^{n} \right) \\ &\therefore~& S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r} \end{eqnarray*}$$
となる。

漸化式の解き方
→詳しくは永島先生のポイント集参照！（2640番以降）

• 前提０：すべての漸化式が解けるとは限らない。
  →$\therefore$ 解けるパターンが限られている。
• 前提１：一般項の公式（☆）を使える形に持っていく
• 等差数列：$a_{n+1} = a_n + d$
• 等比数列：$a_{n+1} = r a_n$
• 階差数列：$\displaystyle  a_{n+1} = a + b_n$
• 最も基本のパターン：「$a_{n+1} = r a_n + k~(r \neq 1)$」→等比型に変形（特性方程式を利用）
  →この等比型に変形していくのが一番の基本＆頻出パターン。

（特性方程式の導出）
数列 $\{a_n\}$ が漸化式
$$a_{n+1} = r a_n + k ~~~ \cdots\cdots (*)$$
を満たすとき，数列 $\{ a_{n} - \alpha \}$ が公比 $r$ の等比数列となるように $\alpha$ を定める。このとき，
$$a_{n+1} - \alpha = r (a_{n} - \alpha)$$
が成り立つので，
$$\begin{eqnarray*} &~& a_{n+1} - \alpha = r a_{n} - r \alpha \\ &\therefore~& a_{n+1} = r a_{n} - r \alpha + \alpha ~~~ \cdots\cdots (**) \end{eqnarray*}$$
である。$(*)$ と $(**)$ より，
$$\begin{eqnarray*} &~& k = - r \alpha + \alpha \\ &\therefore~& \alpha = r \alpha + k \end{eqnarray*}$$
であり，これが数列 $\{a_n\}$ が満たす漸化式の特性方程式である。