数学入試問題置き場

数学の基礎のお勉強 第1章「命題と論証，数の世界」 第3講「有理数と無理数①」 「 数学の基礎のお勉強 」のシリーズの記事です。 またまた更新をサボってました… 記事の意図は上のリンク先を参照してください。 さて，最近Twitterで炎上してるこの画像はご存知でしょうか。 これについてのコメントは，私の愚痴が大半を占めるので一番下に回します。 ここでは， 正しい定義 を学びましょう。 前の記事 では，無理数が「実数のうち有理数でないもの」ということを最後に述べました。 では，有理数の定義は何でしょうか…？ 順天堂大学の過去問を用いて学びましょう。 問題 【2010年　順天堂大学・医学部　改】 (1)　有理数の定義を与えよ。 (2)　有理数の和・積はまた有理数であることを示せ。 (3)　命題の逆の裏を何というか。 (4)　$\sqrt{6}$ の定義を述べよ。 (5)　「自然数 $a$ が素数 $p$ の倍数であり，自然数 $b,c$ によって， $a=bc$ と表されるならば，$b$ または $c$ の少なくとも一方は $p$ の倍数である」という事実が知られている。この事実を用いて，$\sqrt{6}$ が無理数であることを背理法で証明せよ。 知識事項整理 本問では「有理数」についての問いの後，「無理数」についての問いが続くと言った構成です。 まず，有理数の定義は答えられるでしょうか。これ自体を問われなくても，有理数が何かわかっていないとできない証明問題もあります。例えば，有名問題である「$\sqrt{2}$ が無理数であること」の証明は有理数であると仮定して矛盾が生じることを使って示すわけですから，有理数の定義がわかっていないと解けませんよね。 さて，本題の有理数の定義ですが，なんとなく「分数で表される数」とわかっているとは思いますが，正しい定義を理解しましょう。 有理数とは， 「整数 $m$ と $0$ でない整数 $n$ を用いて，$\dfrac{m}{n}$ と表される数」 であり，これが(1)の答えとなります。符号については分子 $m$ を整数とすれば，正負どちらもふれられているので，$n$ は「自然数」としても特に問題はありません。ただし，大学に入ると自然数に $0$ を含め