数学入試問題置き場

数学の基礎のお勉強 第1章「命題と論証，数の世界」 第3講「有理数と無理数①」 「 数学の基礎のお勉強 」のシリーズの記事です。 またまた更新をサボってました… 記事の意図は上のリンク先を参照してください。 さて，最近Twitterで炎上してるこの画像はご存知でしょうか。 これについてのコメントは，私の愚痴が大半を占めるので一番下に回します。 ここでは， 正しい定義 を学びましょう。 前の記事 では，無理数が「実数のうち有理数でないもの」ということを最後に述べました。 では，有理数の定義は何でしょうか…？ 順天堂大学の過去問を用いて学びましょう。 問題 【2010年　順天堂大学・医学部　改】 (1)　有理数の定義を与えよ。 (2)　有理数の和・積はまた有理数であることを示せ。 (3)　命題の逆の裏を何というか。 (4)　$\sqrt{6}$ の定義を述べよ。 (5)　「自然数 $a$ が素数 $p$ の倍数であり，自然数 $b,c$ によって， $a=bc$ と表されるならば，$b$ または $c$ の少なくとも一方は $p$ の倍数である」という事実が知られている。この事実を用いて，$\sqrt{6}$ が無理数であることを背理法で証明せよ。 知識事項整理 本問では「有理数」についての問いの後，「無理数」についての問いが続くと言った構成です。 まず，有理数の定義は答えられるでしょうか。これ自体を問われなくても，有理数が何かわかっていないとできない証明問題もあります。例えば，有名問題である「$\sqrt{2}$ が無理数であること」の証明は有理数であると仮定して矛盾が生じることを使って示すわけですから，有理数の定義がわかっていないと解けませんよね。 さて，本題の有理数の定義ですが，なんとなく「分数で表される数」とわかっているとは思いますが，正しい定義を理解しましょう。 有理数とは， 「整数 $m$ と $0$ でない整数 $n$ を用いて，$\dfrac{m}{n}$ と表される数」 であり，これが(1)の答えとなります。符号については分子 $m$ を整数とすれば，正負どちらもふれられているので，$n$ は「自然数」としても特に問題はありません。ただし，大学に入ると自然数に $0$ を含め...

数学の基礎のお勉強 第1章「命題と論証，数の世界」 第3講「数の種類」 「 数学の基礎のお勉強 」のシリーズの記事です。 更新をサボってました… 記事の意図は上のリンク先を参照してください。 中学校の数学までは，実数までしか扱っていません。 高校に入り，数学IIの最初まで学ぶと新たな数である「複素数」を学びます。 さて，複素数まで含めて，今まで学んできた数に関して正しく理解できているでしょうか？ 次の問題を見てみましょう。 問題 $\mathbb{N,~Z,~Q,~R,~C}$ はそれぞれ自然数，整数，有理数，実数，複素数全体の集合を表すものとする。(1) 〜 (5) に関しては，空欄にあてはまるものとして最も適切なものを （選択肢1） の中から 1 つ選べ。ただし，同じ選択肢を何度用いてもよいものとする．(6) に関しては①，②の問いに答えよ。 (1) $\sqrt{3}~[\hspace{10mm}]~\mathbb{Q}$ である。 (2) $\mathbb{N} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{Z}$ である。 (3) $\displaystyle \frac{\sqrt{4}}{2} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{Q}$ である。 (4) $\mathbb{Z} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{Q}$ である。 (5) $\mathbb{C} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{R}$ である。 (6) ①　無理数の定義を答えよ。 ②　$A$ を無理数全体の集合とする．また，集合 $X,~ Y$ について，$X$ が $Y$ の部分集合であるとき，集合 $Y \cap \overline{X}$ を $Y-X$ で表すとする。ただし，$\overline{X}$ は集合 $X$ の補集合を表す。①で述べた定義にもとづくと，\[ A = [\hspace{5mm} \mbox{ア} \hspace{5mm}] -  [\hspace{5mm}\mbox{イ}\hspace{5mm}] \]である。空欄ア，イに当てはまる最も適切なものを （選択肢2） の中から 1 つ選べ。1つずつ選べ。 （選択肢1） $({...

数学の基礎のお勉強 第1章「命題と論証，数の世界」 第1講「命題とは何か」 「 数学の基礎のお勉強 」のシリーズ？の最初の記事です。 記事の意図は上のリンク先を参照してください。 とりあえず，問題から入ります。 問題 (1) 命題の定義を答えよ。 (2) 次のうち，命題でないものをすべて答えよ。 (a) 実数 $x$ について，$x>0$ ならば $|x|=x$ である． (b) 新潟市は政令指定都市である． (c) $0.1^4$ は $0.2^5$ よりも大きい数である． (d) 岩手県は面積の大きい都道府県である． (e) 実数 $x$ について，$x^2<a^2$ ならば $x<a$ である． (f) $6.0 \times 10^{23}$ は大きい数である． 解答・解説 命題とはなんでしょうか？ おそらく多くの人が，センター数学IAの必要条件・十分条件の検討の問題の対策で目にすると思うので，条件 $p,~q$ を用いて「$p$ ならば $q$ と表せる何か」と認識していることが多いのではないでしょうか？ 残念ながら，必要条件・十分条件でも命題を使います。 では，命題の正しい定義は何かというと… 真偽が明確に定まる記述 で，これがそのまま(1)の解答です。例えば，次の2つの文章を考えてみましょう。 (A)「佐藤さんは身長がクラスの平均より20cmも高い」 (B)「佐藤さんは身長が高い生徒である」 (A)については，（クラスの平均の定義が曖昧とかは抜きにして）「そうだ／そうでない」といえますよね？ しかし，(B)は「何を以って身長が高い」というのかが明確にいうことができません。 したがって，(A)は命題ですが，(B)は命題ではありません。 これがわかると，(2)の解答は「 (d)と(f) 」ということになります。それぞれの真偽も含めて解説するので，以下を参照してください。 (a) 命題であり，真である。 (b) 命題であり，（記事掲載時では）真であ。 (c) 命題であり， \[0.1^ 4 = 1.0 \times 10^{-4},~0.2^5 = 3.2 \times 10^{-4}  ~~~~ \therefore 0.1^4 ...

このシリーズについて ここでは，参考書に載ってはいるけど重要視されず，多くの学校や予備校の授業でスルーされてしまうところを扱っていきたいと思います。本記事には内容は書かず，リンクのみ貼っていきます。 「数学の基礎のお勉強」というタグをすべての記事につけています。 また，シリーズトップというタグをこのページに付けます。 リンク（記事が完成し次第，リンクを貼っていきます） 第1章…命題と論証，数の世界 第1講：命題とは何か 第2講：数の種類 第3講：有理数と無理数① 第4講：有理数と無理数② 第5講：有理数と無理数③ 構成（予定） 第1章…命題と論証，数の世界 数学IA範囲（で理解できると思います） 数学は「 論理的思考力 」を身に付けるための学問です。私立文系志望で数学なんかもうみたくないという人も見て欲しいところです。 正しく論証する・（数学の）議論をする ということを身に付けましょう。大学の数学では，かなり厳密に議論しますが，高校数学だと（教える人が）軽視している気がします。 この章の最後では 「無理数の無理数乗は無理数か」 という命題について考えます。ちなみに，真偽どちらかわかりますか？ （命題って何だ？っていう疑問にもお答えします。） 第2章…定義の確認と定理・公式の証明 「三角関数や微分係数とは何か？」 のような，数学の定義はきちんと理解していますか？分かっていないということは，それは 何だかよく分からないものを扱っている ということになります（この理解ができずに数学の授業が進んでしまうというのも数学が苦手になる一因です）。 「1/6公式」や「三角関数の合成」， 公式を鵜呑みにしていませんか？ （本当にそれらの公式が成り立っていることを確かめましたか？） 公式の証明を理解すれば，公式はただ暗記するものではないということがわかると思います（受験対策的には暗記した方がよい公式もありますが，それは数学本来の考え方ではありません）。