（数学基礎1-2）・数の種類


数学の基礎のお勉強
第1章「命題と論証，数の世界」
第3講「数の種類」

「数学の基礎のお勉強」のシリーズの記事です。
更新をサボってました…
記事の意図は上のリンク先を参照してください。

中学校の数学までは，実数までしか扱っていません。
高校に入り，数学IIの最初まで学ぶと新たな数である「複素数」を学びます。

さて，複素数まで含めて，今まで学んできた数に関して正しく理解できているでしょうか？
次の問題を見てみましょう。

問題

$\mathbb{N,~Z,~Q,~R,~C}$ はそれぞれ自然数，整数，有理数，実数，複素数全体の集合を表すものとする。(1) 〜 (5) に関しては，空欄にあてはまるものとして最も適切なものを（選択肢1）の中から 1 つ選べ。ただし，同じ選択肢を何度用いてもよいものとする．(6) に関しては①，②の問いに答えよ。

(1) $\sqrt{3}~[\hspace{10mm}]~\mathbb{Q}$ である。
(2) $\mathbb{N} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{Z}$ である。
(3) $\displaystyle \frac{\sqrt{4}}{2} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{Q}$ である。
(4) $\mathbb{Z} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{Q}$ である。
(5) $\mathbb{C} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{R}$ である。

(6)
①　無理数の定義を答えよ。
②　$A$ を無理数全体の集合とする．また，集合 $X,~ Y$ について，$X$ が $Y$ の部分集合であるとき，集合 $Y \cap \overline{X}$ を $Y-X$ で表すとする。ただし，$\overline{X}$ は集合 $X$ の補集合を表す。①で述べた定義にもとづくと，\[ A = [\hspace{5mm} \mbox{ア} \hspace{5mm}] -  [\hspace{5mm}\mbox{イ}\hspace{5mm}] \]である。空欄ア，イに当てはまる最も適切なものを（選択肢2）の中から 1 つ選べ。1つずつ選べ。

（選択肢1）
$({\rm a})\in \hspace{4mm} ({\rm b})\notin \hspace{4mm} ({\rm c}) \ni \hspace{4mm} ({\rm d})\ni \hspace{-9pt}/ \hspace{4mm} ({\rm e})= \hspace{4mm} ({\rm f}) \subset \hspace{4mm} ({\rm g}) \supset$

 （選択肢2）
$({\rm n})~ \mathbb{N} \hspace{4mm} ({\rm z})~ \mathbb{Z} \hspace{4mm} ({\rm q})~  \mathbb{Q} \hspace{4mm} ({\rm r})~ \mathbb{R} \hspace{4mm} ({\rm c})~\mathbb{C}$


    知識事項整理

    さて，本問では「自然数」「整数」「有理数」「無理数」「実数」「複素数」という６種類の数が出てきます。それぞれの定義と関係は分かるでしょうか？
    それぞれ，ベン図で表すと以下の図のようになります。

    このようにして見ると，小学校の算数で習った「自然数」から徐々に概念を広げているのが分かると思います（小学校だと負の数を習わないので，厳密には違いますが…）。
    有理数の定義については，次回の記事で扱います。

    (6)では無理数はどの部分にあたるのかが問われていますね。
    上の図には登場していませんが，どこなのでしょうか…

    永島先生のポイント集（No. 1001）でも，非常に丁寧に説明がされているので，確認してみてください。

    というわけで，この問題の解答です。

    解答

    (1) $\sqrt{3}$ は無理数であるから $\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}$ である．よって，答えは (b) ．

    (2) すべての自然数 $n$ について，$n \in \mathbb{Z}$ が成り立つから，$\mathbb{N}$ は $\mathbb{Z}$ の部分集合，すなわち $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ である．よって，答えは (f) ．

    (3) $\displaystyle \frac{\sqrt{4}}{2} = 2 \left( = \frac{2}{1} \right)$ より，$ \displaystyle \frac{\sqrt{4}}{2} \in \mathbb{Q}$ である．よって，答えは (a) ．

    (4) すべての整数 $n$ について，$n \in \mathbb{Q}$ が成り立つから，$\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Q}$ の部分集合，すなわち $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ である．よって，答えは (f) ．
    (5) すべての実数 $x$ について，$x \in \mathbb{C}$ が成り立つから，$\mathbb{R}$ は $\mathbb{C}$ の部分集合，すなわち $\mathbb{C} \supset \mathbb{R}$ である．よって，答えは (g) ．

    (6)
    ①　無理数は実数のうち，有理数でない数である．
    ②　①の定義より，集合 $A$ は集合 $\mathbb{R}$ から  $\mathbb{Q}$ を除いたものであるから，
    \[ A =  \mathbb{R} -  \mathbb{Q} \]

    よって，答えは ア：(r)，イ：(q)  ．

    補足①

    (6)は上の数の集合のベン図で表すと，次の図の塗りつぶされた範囲になります。

    補足②（記号について）

    集合の要素を表す $\in,~\ni$ や 集合どうしの包含関係を表す $\subset,~ \supset$ について補足します。
    まず，$\in,~\ni$ については「$a$ が集合 $S$ の要素である（集合 $S$ に属する）」 とき，
    \[ a \in S ~\mbox{あるいは}~ S \ni a \]
    と表します。

    次に部分集合についてですが，多くの人はベン図での包含関係で理解していると思いますし，それで問題はないと思いますが，数学的な定義について触れたいと思います。大学の数学（特に位相空間論）を学ぶと必ずでてくるので，理系の方は覚えてもいいと思います。
    集合 $R$ の任意の（すべての）要素 $x$ について，
    \[ x \in R  \Longrightarrow x \in S \]
    が成り立つとき，$R$ が集合 $S$ の部分集合であるといい，$R \subset S $ あるいは $S \supset R$ と表します。



      次回について

      第3講は「有理数と無理数①」を，順天堂大学・医学部の入試問題を用いて扱います。

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