オリジナルセンター演習①(2014・学習院[経済]・改題) リンクを取得 Facebook × Pinterest メール 他のアプリ 3月 14, 2019 PDFはこちらからDL可!(Google Drive) この問題は2014年の学習院大学・経済学部の入試問題の解答例③をセンター向けに改題したものです。 誘導がわかりにくいかもしれませんが… 問題は上のリンクを,解答はこの問題を最初に取り上げた記事の解答例③を参照してください(配点は考えていません…)。 演習する過去問が尽きたら,腕試しに解いてみてください。 リンクを取得 Facebook × Pinterest メール 他のアプリ コメント
数列まとめ 6月 19, 2019 数学B・数列の公式まとめ だいぶ長い間,更新をサボってしまいましたが… この間にいろいろ作ったので,公開していきます。 数列に関しては,パターン化しやすい分野なので,どのような手順で解くのかを押さえましょう。 理想としては,問題を見てパッと解く流れを考えてから解答作成に取り組みたいですね。 $\{a_n\},~\{b_n\}$ を数列(実数列)とし,$\{a_n\}$の初項を $a$ とする。 一般項の公式(☆) 等差数列:$a_n = a + d(n-1)$($d:$ 公差) 等比数列:$a_n = ar^{n-1}$($r:$ 公比) 階差数列:$\displaystyle a_n = a + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$($b_n:$ 階差数列) 数列の和の求め方 $\Sigma$計算の 前提1 :$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ (例) $\displaystyle \sum_{i=3}^m a_i = a_3 + a_4 + \cdots + a_m$ $\displaystyle \sum_{k=1}^m a_n = m a_n$($n$ は $k$ と関係ない文字) $\Sigma$計算の 前提2 :$\displaystyle \sum_{k=1}^n ( \alpha a_k + \beta b_n ) = \alpha \sum_{k=1}^n a_k + \beta \sum_{k=1}^n b_k$($\alpha,~\beta:$ 任意の定数) (参考)このような性質を数学においては「線型性」という。 $\Sigma$計算①:$\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \dfrac{1}{2}n(n+1)$ $\Sigma$計算②:$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ $\Sigma$計算③:$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{ \dfrac{1}{2}n(n+1) \right\... 続きを読む
2019年入試解答・第3弾「上智大・TEAP利用(理系)[1]」 3月 09, 2019 上智大学・TEAP利用(理系)[1] $\log x$は$x$の自然対数,$e$は自然対数の底を表す。 (1)正の実数$x$に対して \[ x - \frac{x^2}{2} < \log (1+x) < x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \] が成り立つことを示せ。 (2)自然数$n$に対して \[ a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \] とおく。 (i) 自然数$n$に対して \[ 1 - \frac{1}{2n} < \log a_n < 1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} \] が成り立つことを示せ。 (ii) 不等式 \[e^{0.9} < a_n \] を満たす最小の自然数$n$を求めよ。 参考資料 永島先生ポイント集・ No.3240 感想 上智のTEAP利用入試は2015年入試から始まっていますが,理工学部の第1問では証明・論証問題が頻出です。また,2014年以前の理工学部A方式の数学でも,証明問題(特に公式の証明)が出題されていました。 (おそらく各大学での度重なる出題ミスの影響で)本年度入試より,多くの大学が入試の解答(例)や出題意図を公表するようになりました。上智大学の入試は全試験の解答・出題意図が既に公開されているので,本問の部分を抜粋します。 >>>>>>>>> 数列 $\left\{ 1 + \dfrac{1}{n} \right\}$ は自然対数の底 $e = 2.71 \cdots$ に収束するが, 本問ではこの数列がどの程度の速さで $e$ に収束するかについて考えることをテーマとしている。問(2)(ii) が主となる問であり,問(1)および問(2)(i)はそれを解くための誘導である。 (1)微分・積分を用いて, 関数の値の増減や大小を考察し, そこから不等式を論理的に導く力を問う。 (2)(i) 対数関数の性質を用いれば, ここで問われている不等式は問(1)の不等式の特別な場合であることがわかる。対数関数についての理解力, および洞察力を問う。 (ii)対数関数が単調に増加する関... 続きを読む
数学の基礎のお勉強 3月 09, 2019 このシリーズについて ここでは,参考書に載ってはいるけど重要視されず,多くの学校や予備校の授業でスルーされてしまうところを扱っていきたいと思います。本記事には内容は書かず,リンクのみ貼っていきます。 「数学の基礎のお勉強」というタグをすべての記事につけています。 また,シリーズトップというタグをこのページに付けます。 リンク(記事が完成し次第,リンクを貼っていきます) 第1章…命題と論証,数の世界 第1講:命題とは何か 第2講:数の種類 第3講:有理数と無理数① 第4講:有理数と無理数② 第5講:有理数と無理数③ 構成(予定) 第1章…命題と論証,数の世界 数学IA範囲(で理解できると思います) 数学は「 論理的思考力 」を身に付けるための学問です。私立文系志望で数学なんかもうみたくないという人も見て欲しいところです。 正しく論証する・(数学の)議論をする ということを身に付けましょう。大学の数学では,かなり厳密に議論しますが,高校数学だと(教える人が)軽視している気がします。 この章の最後では 「無理数の無理数乗は無理数か」 という命題について考えます。ちなみに,真偽どちらかわかりますか? (命題って何だ?っていう疑問にもお答えします。) 第2章…定義の確認と定理・公式の証明 「三角関数や微分係数とは何か?」 のような,数学の定義はきちんと理解していますか?分かっていないということは,それは 何だかよく分からないものを扱っている ということになります(この理解ができずに数学の授業が進んでしまうというのも数学が苦手になる一因です)。 「1/6公式」や「三角関数の合成」, 公式を鵜呑みにしていませんか? (本当にそれらの公式が成り立っていることを確かめましたか?) 公式の証明を理解すれば,公式はただ暗記するものではないということがわかると思います(受験対策的には暗記した方がよい公式もありますが,それは数学本来の考え方ではありません)。 続きを読む
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