（数学基礎1-1）・命題とは

数学の基礎のお勉強
第1章「命題と論証，数の世界」
第1講「命題とは何か」

「数学の基礎のお勉強」のシリーズ？の最初の記事です。
記事の意図は上のリンク先を参照してください。

とりあえず，問題から入ります。

問題

(1) 命題の定義を答えよ。

(2) 次のうち，命題でないものをすべて答えよ。

• (a) 実数 $x$ について，$x>0$ ならば $|x|=x$ である．
• (b) 新潟市は政令指定都市である．
• (c) $0.1^4$ は $0.2^5$ よりも大きい数である．
• (d) 岩手県は面積の大きい都道府県である．
• (e) 実数 $x$ について，$x^2<a^2$ ならば $x<a$ である．
• (f) $6.0 \times 10^{23}$ は大きい数である．

解答・解説

命題とはなんでしょうか？
おそらく多くの人が，センター数学IAの必要条件・十分条件の検討の問題の対策で目にすると思うので，条件 $p,~q$ を用いて「$p$ ならば $q$ と表せる何か」と認識していることが多いのではないでしょうか？
残念ながら，必要条件・十分条件でも命題を使います。
では，命題の正しい定義は何かというと…

真偽が明確に定まる記述

で，これがそのまま(1)の解答です。例えば，次の2つの文章を考えてみましょう。

• (A)「佐藤さんは身長がクラスの平均より20cmも高い」
• (B)「佐藤さんは身長が高い生徒である」

(A)については，（クラスの平均の定義が曖昧とかは抜きにして）「そうだ／そうでない」といえますよね？
しかし，(B)は「何を以って身長が高い」というのかが明確にいうことができません。
したがって，(A)は命題ですが，(B)は命題ではありません。

これがわかると，(2)の解答は「(d)と(f)」ということになります。それぞれの真偽も含めて解説するので，以下を参照してください。

• (a) 命題であり，真である。
• (b) 命題であり，（記事掲載時では）真であ。
• (c) 命題であり，
  $$0.1^ 4 = 1.0 \times 10^{-4},~0.2^5 = 3.2 \times 10^{-4}  ~~~~ \therefore 0.1^4 < 0.2^5$$
  より，偽である。
• (d) 真偽を明確に云えないので，命題ではない。
• (e) 命題であり，実数 $x$ について，$x^2<a^2$ ならば
  $$-|a| < x < |a|$$
  であるから，（$x<a$ とは限らないので）偽である。
• (f) 真偽を明確に云えないので，命題ではない。

次回について

第2講は「数の種類」を扱います。