2019年入試解答・第1弾「東大理系・第1問」（解答編）

東大理系（前期）・第1問

　次の定積分を求めよ。
\[ \int_{0}^{1} \left( x^2 + \dfrac{x}{ \sqrt{1 + x^2} } \right) \left( 1 + \dfrac{x}{ (1 + x^2) \sqrt{1 + x^2} } \right) ~dx \]

感想・補足を別記事に移しました（2019/03/14）。

＝解答例＝

\begin{eqnarray*}
f(x) &=& \left( x^2 + \dfrac{x}{ \sqrt{1 + x^2} } \right) \left( 1 + \dfrac{x}{ (1 + x^2) \sqrt{1 + x^2} } \right) \\
\end{eqnarray*}
とおくと，
\begin{eqnarray*}
f(x)&=& x^2 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{x^3}{\left( 1 + x^2 \right)\sqrt{1+x^2}} + \frac{x^2}{\left(1 + x^2 \right)^2} \\
&=& x^2 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{x(1+x^2)-x}{\left( 1 + x^2 \right)\sqrt{1+x^2}} + \frac{x^2}{\left(1 + x^2 \right)^2} \\
&=& x^2 + \frac{2x}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{x}{\left( \sqrt{1+x^2} \right)^3} + \frac{x^2}{\left(1 + x^2 \right)^2}
\end{eqnarray*}
である。ここで，

\begin{eqnarray*}
a &=& \int_0^1 x^2~dx~, ~~ b = \int_0^1 \frac{2x}{\sqrt{1+x^2}} ~dx ~,~~
c = - \int_0^1 \frac{x}{\left( \sqrt{1+x^2} \right)^3}~~,\hspace{2mm} d = \int_0^1 \frac{x^2}{\left(1 + x^2 \right)^2} ~dx
\end{eqnarray*}
とおき，$a,~b,~c,~d$をそれぞれ求める。
\begin{eqnarray*}
a &=& \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{3} \\
b &=& 2\int_0^1 \left( \sqrt{1+x^2} \right)' ~dx = 2\left[ \sqrt{1+x^2} \right]_0^1 = 2\sqrt{2} - 2 \\
c &=& \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right)' ~dx = \left[ \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right]_0^1 = \frac{1}{\sqrt{2}} - 1
\end{eqnarray*}
であり，$x=\tan \theta$とおくと，
\[
\begin{array}{c|c} \hline
x & 0 \to 1 \\ \hline
\theta & 0 \to \dfrac{\pi}{4} \\ \hline
\end{array}
\hspace{15pt}
\displaystyle dx=\frac{1}{\cos^2 \theta} ~d\theta = \left(1+\tan^2 \theta \right) ~d\theta
\]

であるから，
\begin{eqnarray*}
d &=& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^2 \theta}{\left(1 + \tan^2 \theta \right)^2} \left(1+\tan^2 \theta \right) ~d\theta\\
&=& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} ~d\theta\\
&=& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 \theta \cos^2 \theta ~d\theta \\
&=& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 \theta ~d\theta \\
&=& \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 - \cos 2 \theta}{2} ~d\theta \\
&=& \left[ \frac{1}{2}\theta - \frac{1}{4} \sin 2 \theta \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\
&=& \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}
\end{eqnarray*}
である。よって，求める定積分は
\begin{eqnarray*}
\int_0^1 f(x)~dx &=& \frac{1}{3} + 2\sqrt{2} - 2 + \frac{1}{\sqrt{2}} - 1 + \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \\
%&=& \frac{\pi}{8} + \frac{5\sqrt{2}}{2} - \frac{36}{12} + \frac{1}{12} \\
&=& {\bf \frac{\boldsymbol \pi}{8} + \frac{5\sqrt{2}}{2} - \frac{35}{12}} ~~~\cdots\cdots\cdots \mbox{（答）}
\end{eqnarray*}
である。