2017東工大（前期） [1]（2019千葉大・前期[3]の類題）


2017年　東京工業大（前期）[1]

次の条件 (i), (ii) をともに満たす正の整数$N$をすべて求めよ。
  • (i)　$N$の正の約数は12個である。
  • (ii)　$N$の正の約数を小さい方から順に並べたとき，7番目の数は12である。
ただし，$N$の約数には$1$と$N$も含めるものとする。

解答

$N$ の正の約数を小さい方から順に並べたとき，$i$ 番目の約数を $d_i$ とする。条件 (ii) より，$N$ は 1, 2, 3, 4, 6, 12$(=d_7)$ を約数に持つので，
\[ d_1=1,~ d_2=2,~ d_3=3,~ d_4=4 \]
また，条件 (i) より
\[ N= d_6 d_7 =12 d_6 \]
さらに，$d_7=12$ より $6 \leqq d_6 \leqq 11$ であるから，$d_6 = 6,7, \cdots ,11$ として仮定して，それぞれについて考えていく。

  • (a) $d_6 = 6$ とする。$d_5=5$ であることが必要であるが，$N=12 \times 6=72$ は 5 を約数に持たないので，不適。
  • (b) $d_6 = 7$ とする。$12 \times 7=84$ の正の約数は小さい順に
    \[1,2,3,4,6,7,12,14,28,42,84 \]
    であるから，条件 (i), (ii) をともに満たす。
  • (c) $d_6 = 8$ とする。$12 \times 8=96$ の正の約数は小さい順に
    \[ 1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96 \]
    であるから，条件 (i), (ii) をともに満たす。
  • (d) $d_6 = 9$ とする。$12 \times 9=108$ の正の約数は小さい順に
    \[ 1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54,108 \]
    であるから，条件 (i), (ii) をともに満たす。
  • (e) $d_6 = 10$ とする。$12 \times 10=120$ の正の約数は小さい順に
    \[ 1,2,3,4,5,6,8,10,12,\dots \]
    より，不適。
  • (f) $d_6 = 11$ とする。$12 \times 11=132$ の正の約数は小さい順に
    \[ 1,2,3,4,6,11,12,22,33,44,66,132 \]
    であるから，条件 (i), (ii) をともに満たす。
以上より，求める正の整数 $N$ は
\[ N = {\bf 84,~96,~108,~132} ~~~\cdots\cdots \mbox{（答）} \]
である。

類題について補足

約数の個数の公式を用いた解法が目立ちますが，こちらの方がスマートな解答かと。
この方法であれば小学生（5〜6年生？）でも，約数のことを学んでいれば解ける問題です。
確か駿台の解答速報では，こちらが本解で，約数の個数の公式を用いた解法が別解となっていました。
ちなみに某参考書では，この問題がC問題（難しい問題）として掲載されていました…。
（そんなに難しくないよ）
なんでもないです。

アルバイト先の塾の千葉大文系受験者がおり，試験直前にたまたま東工大の整数問題を紹介してたので，千葉大の問題を見たときはビックリしました（笑）

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