数学入試問題置き場

タイトル通りです（笑） 高校で習った定義に触れながら，本来の定義を学びましょう。 高校数学では以下のように学習したと思います。 高校数学における積分の定義 不定積分を微分の逆操作であると定義する。すなわち， \[ F'(x) = f(x) ~\mbox{のとき，}~ \int f(x) ~dx = F(x) + C ~~~(C:\mbox{積分定数}) \] と定義する。また，定積分は，$\displaystyle \int f(x) ~dx = F(x)$ として， \[ \int_a^b f(x) ~dx = F(b) - F(a) \] で定義する。 さて，ここから面積による積分の定義と微積分学の基本定理の証明を見てみましょう。 初めて見ると，紙面だけではキツいかもしれません。 数学の先生等に聞きながら，理解するといいと思います。 大事なのは 積分は面積から定義される 最初に定積分から定義する という点です。こうすることで， 「積分は微分の逆操作である（微積分学の基本定理）」 を 証明することができます 。 積分すると面積が求まるのはなぜ？と疑問に思っていた方も多いと思いますが，「そのように定義されているから」というごく当たり前の理由です。 ちなみに高校数学では，積分すると面積が求められるという「性質」として学習をするため，誤解を招きやすい分野でもあります。 まずは定積分の定義から リーマン和の極限値による定積分の定義 $f(x):$ 開区間 $[a,~b]$ で定義された有界関数 $[a,~b]$ を $n$ 個に細分化し，その分点を $a$ に近い方から順に $ x_0,~ x_1,~ x_2,~\cdots,~x_n $ とする $[x_{k-1},~x_k]$ に属する任意の $x$ 軸上の点の座標を $(\xi_k,~0)$ とする リーマン和 : $\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1}) f(\xi_k)$ リーマン和の極限値 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} S_n$ が存在するとき，その極限値を $f(x)$ の $ a \leqq x \leqq b $...

2019年入試解答 第4弾「大阪大学・理系（前期）[3]」（解答編） 問題 実数 \(s,~t\) が \(s^2+t^2 \leqq 6 \) を満たしながら変わるとき，\(xy\) 平面上で点 \( (s+t,~st) \) が動く領域を \(A\) とする。このとき以下の問いに答えよ。 (1) \( (2,~\sqrt{2}) \) が領域 \(A\) の点かどうか判定せよ。 (2) \(A\) を図示せよ。 (3) \(A\) を \(x\) 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。 実はこのブログの記事は元々は通常のLaTeXで作成した後で，ブログに移植していました。今回は図もあり，移植が面倒なのでpdfを画像で貼り付けます。 感想等は，別記事にて。 とりあえず，(3)の最後の計算はかなりキツいですね…（泣）

東大理系（前期）・第1問 　次の定積分を求めよ。 \[ \int_{0}^{1} \left( x^2 + \dfrac{x}{ \sqrt{1 + x^2} } \right) \left( 1 + \dfrac{x}{ (1 + x^2) \sqrt{1 + x^2} } \right) ~dx \] 感想・補足を別記事に移しました（2019/03/14）。 ＝解 答例＝ \begin{eqnarray*} f(x) &=& \left( x^2 + \dfrac{x}{ \sqrt{1 + x^2} } \right) \left( 1 + \dfrac{x}{ (1 + x^2) \sqrt{1 + x^2} } \right) \\ \end{eqnarray*} とおくと， \begin{eqnarray*} f(x)&=& x^2 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{x^3}{\left( 1 + x^2 \right)\sqrt{1+x^2}} + \frac{x^2}{\left(1 + x^2 \right)^2} \\ &=& x^2 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{x(1+x^2)-x}{\left( 1 + x^2 \right)\sqrt{1+x^2}} + \frac{x^2}{\left(1 + x^2 \right)^2} \\ &=& x^2 + \frac{2x}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{x}{\left( \sqrt{1+x^2} \right)^3} + \frac{x^2}{\left(1 + x^2 \right)^2} \end{eqnarray*} である。ここで， \begin{eqnarray*} a &=& \int_0^1 x^2~dx~, ~~ b = \int_0^1 \frac{2x}{\sqrt{1+x^2}} ~dx ~,~~ c = - \int_0^1 \frac{x}{\left( \sqrt{1+x^2} \right)^3}~~,\hspace{2mm} d = \in...