（数学基礎1-1）・命題とは
数学の基礎のお勉強 第1章「命題と論証，数の世界」 第1講「命題とは何か」 「 数学の基礎のお勉強 」のシリーズ？の最初の記事です。 記事の意図は上のリンク先を参照してください。 とりあえず，問題から入ります。 問題 (1) 命題の定義を答えよ。 (2) 次のうち，命題でないものをすべて答えよ。 (a) 実数 $x$ について，$x>0$ ならば $|x|=x$ である． (b) 新潟市は政令指定都市である． (c) $0.1^4$ は $0.2^5$ よりも大きい数である． (d) 岩手県は面積の大きい都道府県である． (e) 実数 $x$ について，$x^2<a^2$ ならば $x<a$ である． (f) $6.0 \times 10^{23}$ は大きい数である． 解答・解説 命題とはなんでしょうか？ おそらく多くの人が，センター数学IAの必要条件・十分条件の検討の問題の対策で目にすると思うので，条件 $p,~q$ を用いて「$p$ ならば $q$ と表せる何か」と認識していることが多いのではないでしょうか？ 残念ながら，必要条件・十分条件でも命題を使います。 では，命題の正しい定義は何かというと… 真偽が明確に定まる記述 で，これがそのまま(1)の解答です。例えば，次の2つの文章を考えてみましょう。 (A)「佐藤さんは身長がクラスの平均より20cmも高い」 (B)「佐藤さんは身長が高い生徒である」 (A)については，（クラスの平均の定義が曖昧とかは抜きにして）「そうだ／そうでない」といえますよね？ しかし，(B)は「何を以って身長が高い」というのかが明確にいうことができません。 したがって，(A)は命題ですが，(B)は命題ではありません。 これがわかると，(2)の解答は「 (d)と(f) 」ということになります。それぞれの真偽も含めて解説するので，以下を参照してください。 (a) 命題であり，真である。 (b) 命題であり，（記事掲載時では）真であ。 (c) 命題であり， \[0.1^ 4 = 1.0 \times 10^{-4},~0.2^5 = 3.2 \times 10^{-4} ~~~~ \therefore 0.1^4 ...