高校で習わない積分の定義

タイトル通りです（笑）
高校で習った定義に触れながら，本来の定義を学びましょう。

高校数学では以下のように学習したと思います。

高校数学における積分の定義
不定積分を微分の逆操作であると定義する。すなわち，
$$F'(x) = f(x) ~\mbox{のとき，}~ \int f(x) ~dx = F(x) + C ~~~(C:\mbox{積分定数})$$
と定義する。また，定積分は，$\displaystyle \int f(x) ~dx = F(x)$ として，
$$\int_a^b f(x) ~dx = F(b) - F(a)$$
で定義する。

さて，ここから面積による積分の定義と微積分学の基本定理の証明を見てみましょう。
初めて見ると，紙面だけではキツいかもしれません。
数学の先生等に聞きながら，理解するといいと思います。
大事なのは

• 積分は面積から定義される
• 最初に定積分から定義する

という点です。こうすることで，

「積分は微分の逆操作である（微積分学の基本定理）」

を証明することができます。

積分すると面積が求まるのはなぜ？と疑問に思っていた方も多いと思いますが，「そのように定義されているから」というごく当たり前の理由です。
ちなみに高校数学では，積分すると面積が求められるという「性質」として学習をするため，誤解を招きやすい分野でもあります。

まずは定積分の定義から

リーマン和の極限値による定積分の定義

• $f(x):$ 開区間 $[a,~b]$ で定義された有界関数
• $[a,~b]$ を $n$ 個に細分化し，その分点を $a$ に近い方から順に $x_0,~ x_1,~ x_2,~\cdots,~x_n$ とする
• $[x_{k-1},~x_k]$ に属する任意の $x$ 軸上の点の座標を $(\xi_k,~0)$ とする
• リーマン和: $\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1}) f(\xi_k)$

• リーマン和の極限値 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} S_n$ が存在するとき，その極限値を $f(x)$ の $a \leqq x \leqq b$ における定積分といい，$\displaystyle \int_a^b f(x) ~dx$ と表す。すなわち，
  $$\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1}) f(\xi_k) =  \int_a^b f(x) ~dx$$

さて，ここから微積分学における最重要定理をみていきましょう。

微積分学の基本定理

• 積分は微分の逆演算である。すなわち，
  $$\dfrac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)~dt = f(x)$$
  である。

（証明）
$$\displaystyle S(x) = \int_{a}^{x} f(t)~dt$$
とおくと，
$$\begin{eqnarray*} S(x+h) - S(x) &=& \int_{a}^{x+h} f(t)~dt - \int_{a}^{x} f(t)~dt \\ &=& \int_{a}^{x+h} f(t)~dt \end{eqnarray*}$$
となる。また，開区間 $[x,~x+h]$ における $f(t)$ の最大値を $M$，最小値を $m$ とする。

まず，$h>0$ のときを考え，$\displaystyle \lim_{h \to +0} \dfrac{S(x+h) - S(x)}{h} = f(x)$ を示す。

上図より，$\displaystyle \int_{x}^{x+h} m ~dt,~ \int_{x}^{x+h} M ~dt,~\int_{x}^{x+h} f(t)~dt$ の大小関係を面積で考えると
$$\begin{eqnarray*} \int_{x}^{x+h} m ~dt &\leqq& \int_{x}^{x+h} f(t)~dt \leqq \int_{x}^{x+h} M ~dt, \\ \therefore~ mh &\leqq& S(x+h) - S(x) \leqq Mh ~~~\mbox{（注）}\\ \therefore~ m &\leqq& \dfrac{S(x+h) - S(x)}{h} \leqq M \end{eqnarray*}$$
である。$h \to 0$ のとき，
$$M \to f(x),~~ m \to f(x)$$
であるから，はさみうちの原理より
$$\begin{eqnarray*} &~& \lim_{h \to +0} \dfrac{S(x+h) - S(x)}{h} = f(x) ~~~\cdots\cdots \mbox{①}  \\ \end{eqnarray*}$$
が成り立つ。

次に，$h<0$ のときを考え，$\displaystyle \lim_{h \to -0} \dfrac{S(x+h) - S(x)}{h} = f(x)$ を示す。

上図より，
$$\begin{eqnarray*} \int_{x+h}^{x} m ~dt &\leqq& \int_{x+h}^{x} f(t)~dt \leqq \int_{x+h}^{x} M ~dt \\ \therefore~ -mh &\leqq& S(x) - S(x+h) \leqq -Mh ~~~\mbox{（注）}\\ \therefore~ m &\leqq& \dfrac{S(x+h) - S(x)}{h} \leqq M %~~(\because~-h>0) \end{eqnarray*}$$
であるから，はさみうちの原理より
$$\begin{eqnarray*} &~& \lim_{h \to -0} \dfrac{S(x+h) - S(x)}{h} = f(x) ~~~\cdots\cdots \mbox{②} \\ \end{eqnarray*}$$
が成り立つ。
①，②より
$$\begin{eqnarray*} &~& \lim_{h \to 0} \dfrac{S(x+h) - S(x)}{h} = f(x) \\ &\therefore~& S'(x) = f(x)  \\ &\therefore~& \dfrac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)~dt = f(x) \end{eqnarray*}$$
である。

（注）
$k,~C$ を定数として，$\displaystyle \int k ~dt = kt + C$ が成り立つのは，この定理の証明から分かることなので循環論法に見えるが，その前に定積分を面積で定義しているので，
$$\int_{x+h}^{x} m ~dt = mh,~~\int_{x+h}^{x} M ~dt = Mh$$
として問題ない。気になるようであれば，証明で積分の記号を使わなければよい。