数学入試問題置き場

数学の基礎のお勉強 第1章「命題と論証，数の世界」 第3講「有理数と無理数①」 「 数学の基礎のお勉強 」のシリーズの記事です。 またまた更新をサボってました… 記事の意図は上のリンク先を参照してください。 さて，最近Twitterで炎上してるこの画像はご存知でしょうか。 これについてのコメントは，私の愚痴が大半を占めるので一番下に回します。 ここでは， 正しい定義 を学びましょう。 前の記事 では，無理数が「実数のうち有理数でないもの」ということを最後に述べました。 では，有理数の定義は何でしょうか…？ 順天堂大学の過去問を用いて学びましょう。 問題 【2010年　順天堂大学・医学部　改】 (1)　有理数の定義を与えよ。 (2)　有理数の和・積はまた有理数であることを示せ。 (3)　命題の逆の裏を何というか。 (4)　$\sqrt{6}$ の定義を述べよ。 (5)　「自然数 $a$ が素数 $p$ の倍数であり，自然数 $b,c$ によって， $a=bc$ と表されるならば，$b$ または $c$ の少なくとも一方は $p$ の倍数である」という事実が知られている。この事実を用いて，$\sqrt{6}$ が無理数であることを背理法で証明せよ。 知識事項整理 本問では「有理数」についての問いの後，「無理数」についての問いが続くと言った構成です。 まず，有理数の定義は答えられるでしょうか。これ自体を問われなくても，有理数が何かわかっていないとできない証明問題もあります。例えば，有名問題である「$\sqrt{2}$ が無理数であること」の証明は有理数であると仮定して矛盾が生じることを使って示すわけですから，有理数の定義がわかっていないと解けませんよね。 さて，本題の有理数の定義ですが，なんとなく「分数で表される数」とわかっているとは思いますが，正しい定義を理解しましょう。 有理数とは， 「整数 $m$ と $0$ でない整数 $n$ を用いて，$\dfrac{m}{n}$ と表される数」 であり，これが(1)の答えとなります。符号については分子 $m$ を整数とすれば，正負どちらもふれられているので，$n$ は「自然数」としても特に問題はありません。ただし，大学に入ると自然数に $0$ を含め...

数学の基礎のお勉強 第1章「命題と論証，数の世界」 第3講「数の種類」 「 数学の基礎のお勉強 」のシリーズの記事です。 更新をサボってました… 記事の意図は上のリンク先を参照してください。 中学校の数学までは，実数までしか扱っていません。 高校に入り，数学IIの最初まで学ぶと新たな数である「複素数」を学びます。 さて，複素数まで含めて，今まで学んできた数に関して正しく理解できているでしょうか？ 次の問題を見てみましょう。 問題 $\mathbb{N,~Z,~Q,~R,~C}$ はそれぞれ自然数，整数，有理数，実数，複素数全体の集合を表すものとする。(1) 〜 (5) に関しては，空欄にあてはまるものとして最も適切なものを （選択肢1） の中から 1 つ選べ。ただし，同じ選択肢を何度用いてもよいものとする．(6) に関しては①，②の問いに答えよ。 (1) $\sqrt{3}~[\hspace{10mm}]~\mathbb{Q}$ である。 (2) $\mathbb{N} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{Z}$ である。 (3) $\displaystyle \frac{\sqrt{4}}{2} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{Q}$ である。 (4) $\mathbb{Z} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{Q}$ である。 (5) $\mathbb{C} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{R}$ である。 (6) ①　無理数の定義を答えよ。 ②　$A$ を無理数全体の集合とする．また，集合 $X,~ Y$ について，$X$ が $Y$ の部分集合であるとき，集合 $Y \cap \overline{X}$ を $Y-X$ で表すとする。ただし，$\overline{X}$ は集合 $X$ の補集合を表す。①で述べた定義にもとづくと，\[ A = [\hspace{5mm} \mbox{ア} \hspace{5mm}] -  [\hspace{5mm}\mbox{イ}\hspace{5mm}] \]である。空欄ア，イに当てはまる最も適切なものを （選択肢2） の中から 1 つ選べ。1つずつ選べ。 （選択肢1） $({...

2017年　東京工業大（前期）[1] （ 2019年　千葉大学・前期[3] の類題） 次の条件 (i), (ii) をともに満たす正の整数$N$をすべて求めよ。 (i)　$N$の正の約数は12個である。 (ii)　$N$の正の約数を小さい方から順に並べたとき，7番目の数は12である。 ただし，$N$の約数には$1$と$N$も含めるものとする。 解答 $N$ の正の約数を小さい方から順に並べたとき，$i$ 番目の約数を $d_i$ とする。条件 (ii) より，$N$ は 1, 2, 3, 4, 6, 12$(=d_7)$ を約数に持つので， \[ d_1=1,~ d_2=2,~ d_3=3,~ d_4=4 \] また，条件 (i) より \[ N= d_6 d_7 =12 d_6 \] さらに，$d_7=12$ より $6 \leqq d_6 \leqq 11$ であるから，$d_6 = 6,7, \cdots ,11$ として仮定して，それぞれについて考えていく。 (a) $d_6 = 6$ とする。$d_5=5$ であることが必要であるが，$N=12 \times 6=72$ は 5 を約数に持たないので，不適。 (b) $d_6 = 7$ とする。$12 \times 7=84$ の正の約数は小さい順に \[1,2,3,4,6,7,12,14,28,42,84 \] であるから，条件 (i), (ii) をともに満たす。 (c) $d_6 = 8$ とする。$12 \times 8=96$ の正の約数は小さい順に \[ 1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96 \] であるから，条件 (i), (ii) をともに満たす。 (d) $d_6 = 9$ とする。$12 \times 9=108$ の正の約数は小さい順に \[ 1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54,108 \] であるから，条件 (i), (ii) をともに満たす。 (e) $d_6 = 10$ とする。$12 \times 10=120$ の正の約数は小さい順に \[ 1,2,3,4,5,6,8,10,12,\dots \] より，不適。 (f) $d_6 = 11$ とする。$12 \times 11...

2019年入試解答 第4弾「大阪大学・理系（前期）[3]」（解答編） 問題 実数 \(s,~t\) が \(s^2+t^2 \leqq 6 \) を満たしながら変わるとき，\(xy\) 平面上で点 \( (s+t,~st) \) が動く領域を \(A\) とする。このとき以下の問いに答えよ。 (1) \( (2,~\sqrt{2}) \) が領域 \(A\) の点かどうか判定せよ。 (2) \(A\) を図示せよ。 (3) \(A\) を \(x\) 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。 実はこのブログの記事は元々は通常のLaTeXで作成した後で，ブログに移植していました。今回は図もあり，移植が面倒なのでpdfを画像で貼り付けます。 感想等は，別記事にて。 とりあえず，(3)の最後の計算はかなりキツいですね…（泣）

PDFはこちらからDL可！（Google Drive） この問題は2014年の学習院大学・経済学部の入試問題の解答例③をセンター向けに改題したものです。 誘導がわかりにくいかもしれませんが… 問題は上のリンクを，解答は この問題を最初に取り上げた記事 の解答例③を参照してください（配点は考えていません…）。 演習する過去問が尽きたら，腕試しに解いてみてください。

東大理系（前期）・第1問 　次の定積分を求めよ。 \[ \int_{0}^{1} \left( x^2 + \dfrac{x}{ \sqrt{1 + x^2} } \right) \left( 1 + \dfrac{x}{ (1 + x^2) \sqrt{1 + x^2} } \right) ~dx \] 参考資料 永島先生ポイント集 No.3401 No.3451 高校数学の美しい物語「 高校数学における8つの線形性の例 」 感想（補足・19/03/14更新） 「なんだ，ただの定積分じゃないか」とか「超簡単じゃないか」，「東大もここまで落ちたか」とか言われていますが… まぁ，「東大理系数学」と考えると，確かに面白みが少ないかもしれないですね。 ただ，定積分の計算方法が定着できているか確認するのに持ってこいだとは思います。 高校の数IIIの定期テストに出てきそうですね。 いろんな予備校の解答速報や受験情報サイトで解答が出ていますが，とりあえず私なりの解答例を載っけてみます。 （以下，19/03/13更新） さて，以下は数学IIIの問題が「解説を見ると解けるが，自力では解けない」という人に向けたアドバイスです。 本問の解答の方針としては，まず被積分関数 \[ \left( x^2 + \dfrac{x}{ \sqrt{1 + x^2} } \right) \left( 1 + \dfrac{x}{ (1 + x^2) \sqrt{1 + x^2} } \right) \] を展開するところから着手すると思うのですが，「 なぜ展開するのか 」ということを考えた人はいるでしょうか？ これは積分の性質が大きく関わっています。 $\alpha,~\beta$ を定数として， \[ \int_a^b \{ \alpha f(x) + \beta g(x) \}~dx = \alpha \int_a^b f(x)~dx + \beta \int_a^b g(x)~dx  \] が成り立ちます（永島先生ポイント集のNo.3401も参照）。 この性質は積分だけでなく，ベクトルや $\Sigma$ 計算などでも学んだことがあると思います（高校数学の美しい物語の リンク も参...

2019年入試・数学解答例 目次（更新予定記事） 東京大学・理系（前期）第1問 解答編 補足・感想編 千葉大学（前期）[3] （類題）2017年　東京工業大学（前期）[1] 上智大学・TEAP利用（理系）[1] （参考）2009年　千葉大学（前期）[6] 大阪大学・理系（前期）[3] 解答編 補足・感想編 早稲田大学・理工学部 [ II ] （注）ご存知だとは思いますが，3学部をまとめて理工学部としています（基幹理工学部，創造理工学部，先進理工学部）。 他にも更新する可能性があります。 解答例を載せてほしい問題があれば，コメントしていただけると幸いです。