数学入試問題置き場

数学の基礎のお勉強 第1章「命題と論証，数の世界」 第3講「数の種類」 「 数学の基礎のお勉強 」のシリーズの記事です。 更新をサボってました… 記事の意図は上のリンク先を参照してください。 中学校の数学までは，実数までしか扱っていません。 高校に入り，数学IIの最初まで学ぶと新たな数である「複素数」を学びます。 さて，複素数まで含めて，今まで学んできた数に関して正しく理解できているでしょうか？ 次の問題を見てみましょう。 問題 $\mathbb{N,~Z,~Q,~R,~C}$ はそれぞれ自然数，整数，有理数，実数，複素数全体の集合を表すものとする。(1) 〜 (5) に関しては，空欄にあてはまるものとして最も適切なものを （選択肢1） の中から 1 つ選べ。ただし，同じ選択肢を何度用いてもよいものとする．(6) に関しては①，②の問いに答えよ。 (1) $\sqrt{3}~[\hspace{10mm}]~\mathbb{Q}$ である。 (2) $\mathbb{N} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{Z}$ である。 (3) $\displaystyle \frac{\sqrt{4}}{2} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{Q}$ である。 (4) $\mathbb{Z} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{Q}$ である。 (5) $\mathbb{C} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{R}$ である。 (6) ①　無理数の定義を答えよ。 ②　$A$ を無理数全体の集合とする．また，集合 $X,~ Y$ について，$X$ が $Y$ の部分集合であるとき，集合 $Y \cap \overline{X}$ を $Y-X$ で表すとする。ただし，$\overline{X}$ は集合 $X$ の補集合を表す。①で述べた定義にもとづくと，\[ A = [\hspace{5mm} \mbox{ア} \hspace{5mm}] -  [\hspace{5mm}\mbox{イ}\hspace{5mm}] \]である。空欄ア，イに当てはまる最も適切なものを （選択肢2） の中から 1 つ選べ。1つずつ選べ。 （選択肢1） $({...

2017年　東京工業大（前期）[1] （ 2019年　千葉大学・前期[3] の類題） 次の条件 (i), (ii) をともに満たす正の整数$N$をすべて求めよ。 (i)　$N$の正の約数は12個である。 (ii)　$N$の正の約数を小さい方から順に並べたとき，7番目の数は12である。 ただし，$N$の約数には$1$と$N$も含めるものとする。 解答 $N$ の正の約数を小さい方から順に並べたとき，$i$ 番目の約数を $d_i$ とする。条件 (ii) より，$N$ は 1, 2, 3, 4, 6, 12$(=d_7)$ を約数に持つので， \[ d_1=1,~ d_2=2,~ d_3=3,~ d_4=4 \] また，条件 (i) より \[ N= d_6 d_7 =12 d_6 \] さらに，$d_7=12$ より $6 \leqq d_6 \leqq 11$ であるから，$d_6 = 6,7, \cdots ,11$ として仮定して，それぞれについて考えていく。 (a) $d_6 = 6$ とする。$d_5=5$ であることが必要であるが，$N=12 \times 6=72$ は 5 を約数に持たないので，不適。 (b) $d_6 = 7$ とする。$12 \times 7=84$ の正の約数は小さい順に \[1,2,3,4,6,7,12,14,28,42,84 \] であるから，条件 (i), (ii) をともに満たす。 (c) $d_6 = 8$ とする。$12 \times 8=96$ の正の約数は小さい順に \[ 1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96 \] であるから，条件 (i), (ii) をともに満たす。 (d) $d_6 = 9$ とする。$12 \times 9=108$ の正の約数は小さい順に \[ 1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54,108 \] であるから，条件 (i), (ii) をともに満たす。 (e) $d_6 = 10$ とする。$12 \times 10=120$ の正の約数は小さい順に \[ 1,2,3,4,5,6,8,10,12,\dots \] より，不適。 (f) $d_6 = 11$ とする。$12 \times 11...

2019年入試解答 第4弾「大阪大学・理系（前期）[3]」（解答編） 問題 実数 \(s,~t\) が \(s^2+t^2 \leqq 6 \) を満たしながら変わるとき，\(xy\) 平面上で点 \( (s+t,~st) \) が動く領域を \(A\) とする。このとき以下の問いに答えよ。 (1) \( (2,~\sqrt{2}) \) が領域 \(A\) の点かどうか判定せよ。 (2) \(A\) を図示せよ。 (3) \(A\) を \(x\) 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。 実はこのブログの記事は元々は通常のLaTeXで作成した後で，ブログに移植していました。今回は図もあり，移植が面倒なのでpdfを画像で貼り付けます。 感想等は，別記事にて。 とりあえず，(3)の最後の計算はかなりキツいですね…（泣）

PDFはこちらからDL可！（Google Drive） この問題は2014年の学習院大学・経済学部の入試問題の解答例③をセンター向けに改題したものです。 誘導がわかりにくいかもしれませんが… 問題は上のリンクを，解答は この問題を最初に取り上げた記事 の解答例③を参照してください（配点は考えていません…）。 演習する過去問が尽きたら，腕試しに解いてみてください。

東大理系（前期）・第1問 　次の定積分を求めよ。 \[ \int_{0}^{1} \left( x^2 + \dfrac{x}{ \sqrt{1 + x^2} } \right) \left( 1 + \dfrac{x}{ (1 + x^2) \sqrt{1 + x^2} } \right) ~dx \] 参考資料 永島先生ポイント集 No.3401 No.3451 高校数学の美しい物語「 高校数学における8つの線形性の例 」 感想（補足・19/03/14更新） 「なんだ，ただの定積分じゃないか」とか「超簡単じゃないか」，「東大もここまで落ちたか」とか言われていますが… まぁ，「東大理系数学」と考えると，確かに面白みが少ないかもしれないですね。 ただ，定積分の計算方法が定着できているか確認するのに持ってこいだとは思います。 高校の数IIIの定期テストに出てきそうですね。 いろんな予備校の解答速報や受験情報サイトで解答が出ていますが，とりあえず私なりの解答例を載っけてみます。 （以下，19/03/13更新） さて，以下は数学IIIの問題が「解説を見ると解けるが，自力では解けない」という人に向けたアドバイスです。 本問の解答の方針としては，まず被積分関数 \[ \left( x^2 + \dfrac{x}{ \sqrt{1 + x^2} } \right) \left( 1 + \dfrac{x}{ (1 + x^2) \sqrt{1 + x^2} } \right) \] を展開するところから着手すると思うのですが，「 なぜ展開するのか 」ということを考えた人はいるでしょうか？ これは積分の性質が大きく関わっています。 $\alpha,~\beta$ を定数として， \[ \int_a^b \{ \alpha f(x) + \beta g(x) \}~dx = \alpha \int_a^b f(x)~dx + \beta \int_a^b g(x)~dx  \] が成り立ちます（永島先生ポイント集のNo.3401も参照）。 この性質は積分だけでなく，ベクトルや $\Sigma$ 計算などでも学んだことがあると思います（高校数学の美しい物語の リンク も参...

2019年入試・数学解答例 目次（更新予定記事） 東京大学・理系（前期）第1問 解答編 補足・感想編 千葉大学（前期）[3] （類題）2017年　東京工業大学（前期）[1] 上智大学・TEAP利用（理系）[1] （参考）2009年　千葉大学（前期）[6] 大阪大学・理系（前期）[3] 解答編 補足・感想編 早稲田大学・理工学部 [ II ] （注）ご存知だとは思いますが，3学部をまとめて理工学部としています（基幹理工学部，創造理工学部，先進理工学部）。 他にも更新する可能性があります。 解答例を載せてほしい問題があれば，コメントしていただけると幸いです。

数学の基礎のお勉強 第1章「命題と論証，数の世界」 第1講「命題とは何か」 「 数学の基礎のお勉強 」のシリーズ？の最初の記事です。 記事の意図は上のリンク先を参照してください。 とりあえず，問題から入ります。 問題 (1) 命題の定義を答えよ。 (2) 次のうち，命題でないものをすべて答えよ。 (a) 実数 $x$ について，$x>0$ ならば $|x|=x$ である． (b) 新潟市は政令指定都市である． (c) $0.1^4$ は $0.2^5$ よりも大きい数である． (d) 岩手県は面積の大きい都道府県である． (e) 実数 $x$ について，$x^2<a^2$ ならば $x<a$ である． (f) $6.0 \times 10^{23}$ は大きい数である． 解答・解説 命題とはなんでしょうか？ おそらく多くの人が，センター数学IAの必要条件・十分条件の検討の問題の対策で目にすると思うので，条件 $p,~q$ を用いて「$p$ ならば $q$ と表せる何か」と認識していることが多いのではないでしょうか？ 残念ながら，必要条件・十分条件でも命題を使います。 では，命題の正しい定義は何かというと… 真偽が明確に定まる記述 で，これがそのまま(1)の解答です。例えば，次の2つの文章を考えてみましょう。 (A)「佐藤さんは身長がクラスの平均より20cmも高い」 (B)「佐藤さんは身長が高い生徒である」 (A)については，（クラスの平均の定義が曖昧とかは抜きにして）「そうだ／そうでない」といえますよね？ しかし，(B)は「何を以って身長が高い」というのかが明確にいうことができません。 したがって，(A)は命題ですが，(B)は命題ではありません。 これがわかると，(2)の解答は「 (d)と(f) 」ということになります。それぞれの真偽も含めて解説するので，以下を参照してください。 (a) 命題であり，真である。 (b) 命題であり，（記事掲載時では）真であ。 (c) 命題であり， \[0.1^ 4 = 1.0 \times 10^{-4},~0.2^5 = 3.2 \times 10^{-4}  ~~~~ \therefore 0.1^4 ...