数学入試問題置き場

2つの円の束 方程式 eq1：$x^2 + y^2 = 5$ で表される円と eq2：$x^2 + y^2 - 2x - 3y + 5 = 0$で表される円との２つの共有点で表される図形 本ページのQRコード

タイトル通りです（笑） 高校で習った定義に触れながら，本来の定義を学びましょう。 高校数学では以下のように学習したと思います。 高校数学における積分の定義 不定積分を微分の逆操作であると定義する。すなわち， \[ F'(x) = f(x) ~\mbox{のとき，}~ \int f(x) ~dx = F(x) + C ~~~(C:\mbox{積分定数}) \] と定義する。また，定積分は，$\displaystyle \int f(x) ~dx = F(x)$ として， \[ \int_a^b f(x) ~dx = F(b) - F(a) \] で定義する。 さて，ここから面積による積分の定義と微積分学の基本定理の証明を見てみましょう。 初めて見ると，紙面だけではキツいかもしれません。 数学の先生等に聞きながら，理解するといいと思います。 大事なのは 積分は面積から定義される 最初に定積分から定義する という点です。こうすることで， 「積分は微分の逆操作である（微積分学の基本定理）」 を 証明することができます 。 積分すると面積が求まるのはなぜ？と疑問に思っていた方も多いと思いますが，「そのように定義されているから」というごく当たり前の理由です。 ちなみに高校数学では，積分すると面積が求められるという「性質」として学習をするため，誤解を招きやすい分野でもあります。 まずは定積分の定義から リーマン和の極限値による定積分の定義 $f(x):$ 開区間 $[a,~b]$ で定義された有界関数 $[a,~b]$ を $n$ 個に細分化し，その分点を $a$ に近い方から順に $ x_0,~ x_1,~ x_2,~\cdots,~x_n $ とする $[x_{k-1},~x_k]$ に属する任意の $x$ 軸上の点の座標を $(\xi_k,~0)$ とする リーマン和 : $\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1}) f(\xi_k)$ リーマン和の極限値 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} S_n$ が存在するとき，その極限値を $f(x)$ の $ a \leqq x \leqq b $

数学B・数列の公式まとめ だいぶ長い間，更新をサボってしまいましたが… この間にいろいろ作ったので，公開していきます。 数列に関しては，パターン化しやすい分野なので，どのような手順で解くのかを押さえましょう。 理想としては，問題を見てパッと解く流れを考えてから解答作成に取り組みたいですね。 $\{a_n\},~\{b_n\}$ を数列（実数列）とし，$\{a_n\}$の初項を $a$ とする。  一般項の公式（☆） 等差数列：$a_n = a + d(n-1)$（$d:$ 公差） 等比数列：$a_n = ar^{n-1}$（$r:$ 公比） 階差数列：$\displaystyle  a_n = a + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$（$b_n:$ 階差数列） 数列の和の求め方  $\Sigma$計算の 前提１ ：$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ 　　 （例） $\displaystyle \sum_{i=3}^m a_i = a_3 + a_4 + \cdots + a_m$ $\displaystyle \sum_{k=1}^m a_n = m a_n$（$n$ は $k$ と関係ない文字） $\Sigma$計算の 前提２ ：$\displaystyle \sum_{k=1}^n ( \alpha a_k + \beta b_n ) = \alpha \sum_{k=1}^n a_k + \beta \sum_{k=1}^n b_k$（$\alpha,~\beta:$ 任意の定数） （参考）このような性質を数学においては「線型性」という。 $\Sigma$計算①：$\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \dfrac{1}{2}n(n+1)$ $\Sigma$計算②：$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ $\Sigma$計算③：$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{ \dfrac{1}{2}n(n+1) \right\}^2 $  等比数列の和

数学の基礎のお勉強 第1章「命題と論証，数の世界」 第3講「有理数と無理数①」 「 数学の基礎のお勉強 」のシリーズの記事です。 またまた更新をサボってました… 記事の意図は上のリンク先を参照してください。 さて，最近Twitterで炎上してるこの画像はご存知でしょうか。 これについてのコメントは，私の愚痴が大半を占めるので一番下に回します。 ここでは， 正しい定義 を学びましょう。 前の記事 では，無理数が「実数のうち有理数でないもの」ということを最後に述べました。 では，有理数の定義は何でしょうか…？ 順天堂大学の過去問を用いて学びましょう。 問題 【2010年　順天堂大学・医学部　改】 (1)　有理数の定義を与えよ。 (2)　有理数の和・積はまた有理数であることを示せ。 (3)　命題の逆の裏を何というか。 (4)　$\sqrt{6}$ の定義を述べよ。 (5)　「自然数 $a$ が素数 $p$ の倍数であり，自然数 $b,c$ によって， $a=bc$ と表されるならば，$b$ または $c$ の少なくとも一方は $p$ の倍数である」という事実が知られている。この事実を用いて，$\sqrt{6}$ が無理数であることを背理法で証明せよ。 知識事項整理 本問では「有理数」についての問いの後，「無理数」についての問いが続くと言った構成です。 まず，有理数の定義は答えられるでしょうか。これ自体を問われなくても，有理数が何かわかっていないとできない証明問題もあります。例えば，有名問題である「$\sqrt{2}$ が無理数であること」の証明は有理数であると仮定して矛盾が生じることを使って示すわけですから，有理数の定義がわかっていないと解けませんよね。 さて，本題の有理数の定義ですが，なんとなく「分数で表される数」とわかっているとは思いますが，正しい定義を理解しましょう。 有理数とは， 「整数 $m$ と $0$ でない整数 $n$ を用いて，$\dfrac{m}{n}$ と表される数」 であり，これが(1)の答えとなります。符号については分子 $m$ を整数とすれば，正負どちらもふれられているので，$n$ は「自然数」としても特に問題はありません。ただし，大学に入ると自然数に $0$ を含め

数学の基礎のお勉強 第1章「命題と論証，数の世界」 第3講「数の種類」 「 数学の基礎のお勉強 」のシリーズの記事です。 更新をサボってました… 記事の意図は上のリンク先を参照してください。 中学校の数学までは，実数までしか扱っていません。 高校に入り，数学IIの最初まで学ぶと新たな数である「複素数」を学びます。 さて，複素数まで含めて，今まで学んできた数に関して正しく理解できているでしょうか？ 次の問題を見てみましょう。 問題 $\mathbb{N,~Z,~Q,~R,~C}$ はそれぞれ自然数，整数，有理数，実数，複素数全体の集合を表すものとする。(1) 〜 (5) に関しては，空欄にあてはまるものとして最も適切なものを （選択肢1） の中から 1 つ選べ。ただし，同じ選択肢を何度用いてもよいものとする．(6) に関しては①，②の問いに答えよ。 (1) $\sqrt{3}~[\hspace{10mm}]~\mathbb{Q}$ である。 (2) $\mathbb{N} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{Z}$ である。 (3) $\displaystyle \frac{\sqrt{4}}{2} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{Q}$ である。 (4) $\mathbb{Z} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{Q}$ である。 (5) $\mathbb{C} ~[\hspace{10mm}]~ \mathbb{R}$ である。 (6) ①　無理数の定義を答えよ。 ②　$A$ を無理数全体の集合とする．また，集合 $X,~ Y$ について，$X$ が $Y$ の部分集合であるとき，集合 $Y \cap \overline{X}$ を $Y-X$ で表すとする。ただし，$\overline{X}$ は集合 $X$ の補集合を表す。①で述べた定義にもとづくと，\[ A = [\hspace{5mm} \mbox{ア} \hspace{5mm}] -  [\hspace{5mm}\mbox{イ}\hspace{5mm}] \]である。空欄ア，イに当てはまる最も適切なものを （選択肢2） の中から 1 つ選べ。1つずつ選べ。 （選択肢1） $({\rm a})\i

2017年　東京工業大（前期）[1] （ 2019年　千葉大学・前期[3] の類題） 次の条件 (i), (ii) をともに満たす正の整数$N$をすべて求めよ。 (i)　$N$の正の約数は12個である。 (ii)　$N$の正の約数を小さい方から順に並べたとき，7番目の数は12である。 ただし，$N$の約数には$1$と$N$も含めるものとする。 解答 $N$ の正の約数を小さい方から順に並べたとき，$i$ 番目の約数を $d_i$ とする。条件 (ii) より，$N$ は 1, 2, 3, 4, 6, 12$(=d_7)$ を約数に持つので， \[ d_1=1,~ d_2=2,~ d_3=3,~ d_4=4 \] また，条件 (i) より \[ N= d_6 d_7 =12 d_6 \] さらに，$d_7=12$ より $6 \leqq d_6 \leqq 11$ であるから，$d_6 = 6,7, \cdots ,11$ として仮定して，それぞれについて考えていく。 (a) $d_6 = 6$ とする。$d_5=5$ であることが必要であるが，$N=12 \times 6=72$ は 5 を約数に持たないので，不適。 (b) $d_6 = 7$ とする。$12 \times 7=84$ の正の約数は小さい順に \[1,2,3,4,6,7,12,14,28,42,84 \] であるから，条件 (i), (ii) をともに満たす。 (c) $d_6 = 8$ とする。$12 \times 8=96$ の正の約数は小さい順に \[ 1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96 \] であるから，条件 (i), (ii) をともに満たす。 (d) $d_6 = 9$ とする。$12 \times 9=108$ の正の約数は小さい順に \[ 1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54,108 \] であるから，条件 (i), (ii) をともに満たす。 (e) $d_6 = 10$ とする。$12 \times 10=120$ の正の約数は小さい順に \[ 1,2,3,4,5,6,8,10,12,\dots \] より，不適。 (f) $d_6 = 11$ とする。$12 \times 11