2つの円の束（GeoGebraの利用例）

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7月 25, 2019

2つの円の束

方程式 eq1：

$x^2 + y^2 = 5$ で表される円と eq2：

$x^2 + y^2 - 2x - 3y + 5 = 0$ で表される円との２つの共有点で表される図形

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上智大学・TEAP利用（理系）[1]

$\log x$ は

$x$ の自然対数，

$e$ は自然対数の底を表す。 (1)正の実数

$x$ に対して

$x - \frac{x^2}{2} < \log (1+x) < x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$ が成り立つことを示せ。 (2)自然数

$n$ に対して

$a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ とおく。 (i) 自然数

$n$ に対して

$1 - \frac{1}{2n} < \log a_n < 1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2}$ が成り立つことを示せ。 (ii) 不等式

$e^{0.9} < a_n$ を満たす最小の自然数

$n$ を求めよ。参考資料永島先生ポイント集・ No.3240 感想上智のTEAP利用入試は2015年入試から始まっていますが，理工学部の第1問では証明・論証問題が頻出です。また，2014年以前の理工学部A方式の数学でも，証明問題（特に公式の証明）が出題されていました。（おそらく各大学での度重なる出題ミスの影響で）本年度入試より，多くの大学が入試の解答（例）や出題意図を公表するようになりました。上智大学の入試は全試験の解答・出題意図が既に公開されているので，本問の部分を抜粋します。 >>>>>>>>> 数列

$\left\{ 1 + \dfrac{1}{n} \right\}$ は自然対数の底

$e = 2.71 \cdots$ に収束するが, 本問ではこの数列がどの程度の速さで

$e$ に収束するかについて考えることをテーマとしている。問(2)(ii) が主となる問であり，問(1)および問(2)(i)はそれを解くための誘導である。 (1)微分・積分を用いて, 関数の値の増減や大小を考察し, そこから不等式を論理的に導く力を問う。 (2)(i) 対数関数の性質を用いれば, ここで問われている不等式は問(1)の不等式の特別な場合であることがわかる。対数関数についての理解力, および洞察力を問う。 (ii)対数関数が単調に増加する関...

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